Question

ДАЮ 25 БАЛЛОВ . Докажите неравенство: а) (k - 3)2 < k(k - 3) б) n2 + 2 ≥ 2(4n - 7)

Answer 1

а)(к-3)2<к(к-3)

2<к

б)н2+2>2(4н-7)

2(н+1)>2(4н-7)

н+1>4н-7

Answer 2

Давайте докажем оба неравенства:

а) (k - 3)^2 < k(k - 3)

Начнем с левой стороны неравенства:

(k - 3)^2 = k^2 - 6k + 9

Теперь рассмотрим правую сторону неравенства:

k(k - 3) = k^2 - 3k

Теперь мы можем сравнить левую и правую стороны неравенства:

k^2 - 6k + 9 < k^2 - 3k

Теперь давайте избавимся от общих членов на обеих сторонах неравенства, вычитая k^2 и вычитая -3k из обеих сторон:

9 < 3k

Теперь делим обе стороны на 3:

3 < k

Итак, мы доказали, что неравенство (k - 3)^2 < k(k - 3) верно, если k > 3.

б) n^2 + 2 ≥ 2(4n - 7)

Начнем с левой стороны неравенства:

n^2 + 2

Теперь рассмотрим правую сторону неравенства:

2(4n - 7) = 8n - 14

Теперь сравним левую и правую стороны неравенства:

n^2 + 2 ≥ 8n - 14

Теперь вычитаем 8n и прибавляем 14 к обеим сторонам:

n^2 - 8n + 2 + 14 ≥ 0

n^2 - 8n + 16 ≥ 0

Теперь факторизуем левую сторону неравенства:

(n - 4)^2 ≥ 0

Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, неравенство n^2 + 2 ≥ 2(4n - 7) верно для всех значений n.

Итак, мы доказали оба неравенства.