Question

Помогите с алгеброй!!! Найдите общее решение дифференциального уравнения 2ху'+у^2=1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2xy'=1-y²

y'=dy/dx

2xdy/dx=1-y²

разделяем переменные

2dy/(1-y²)=dx/x

интегрируем обе части

∫2dy/(1-y²)=∫dx/x

вычислим оба интеграла по отдельности

1) ∫2dy/(1-y²)

разложим 1/(1-y²) на сумму методом неопределенных коэффициентов

1/(1-y²)=1/((1-y)(1+y))=A/(1-y) + B/(1+y)=[A(1+y)+B(1-y)]/((1-y)(1+y))=

[A+Ay+B-By)]/((1-y)(1+y))

A+B+y(A-B)=1

получим систему

A+B=0

A-B=1

Методом сложения

складываем оба уравнения

2A=1 ; A=0,5 ; A+B=0; B=-A; B=-0,5

∫2dy/(1-y²)=2(∫( 0,5/(1-y)  +0,5/(1+y))dx=2*0,5(∫(1/(1-y)  + 1/(1+y))dx=

=lnI1-yI+lnI1+yI+C

∫2dy/(1-y²)=lnI1-yI+lnI1+yI+C

2) ∫dx/x=lnIxI+C

3) объединим решения

lnI1-yI+lnI1+yI+C=lnIxI+C

lnI1-yI+lnI1+yI-lnIxI+c=0 - общий интеграл или общее решение

Answer 2

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения 2xy' + y^2 = 1, давайте приступим к его решению.

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

2xy' + y^2 = 1

Теперь давайте разделим обе стороны уравнения на 2x:

y' + (1/2x)y^2 = 1/(2x)

Далее, введем замену переменной, чтобы сделать уравнение разрешимым. Пусть z = y^2, тогда z' = 2yy', и уравнение примет вид:

(1/2z)z' + (1/2x)z = 1/(2x)

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и мы можем решить его с помощью метода интегрирующего множителя. Множитель можно найти, умножив уравнение на 2z:

z' + (1/x)z = 1/x

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение в стандартной форме, где множитель интегрирующего множителя равен (1/x). Давайте найдем его интеграл:

∫(1/x) dx = ∫(1/x) dx

ln|x| = ln|x| + C

где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь у нас есть выражение для интегрирующего множителя. Умножим наше исходное уравнение на интегрирующий множитель:

ln|x|z + Cz = ∫(1/x) dx

Теперь можем интегрировать обе стороны:

ln|x|z + Cz = ln|x| + D

где D - другая произвольная постоянная интеграции.

Теперь мы имеем уравнение с переменной z:

ln|x|z + Cz = ln|x| + D

Это уравнение можно решить относительно z:

z = e^(D - ln|x| - Cz)

Теперь, с учетом того, что z = y^2, мы можем вернуться к исходной переменной y:

y^2 = e^(D - ln|x| - Cz)

y^2 = e^(D - ln|x| - C(y^2))

Таким образом, получено общее решение дифференциального уравнения:

y^2 = e^(D - ln|x| - C(y^2))

Это выражение определяет общее решение данного дифференциального уравнения.