Question

1) Найдите точку минимума функции = x^2 − 4 + 17. Ответ:2) Найдите точку максимума функции = 8 − 3 − 2x^2.Ответ:3) Найдите наименьшее значение функции = x^2 + 6 − 2 на отрезке [−4; 0].Ответ:4) Найдите наибольшее значение функции = −x^2 − 10 + 15 на отрезке [−1; 5].

Answer 1

То есть от производной функции находится xmin или xmax, если корень только 1, то это и есть xmax или xmin, а если корней несколько то нужный находим методом интервалов и подставляем в первоначальную функцию и получаем ответ(если требуется, т.е y наимнешьее/наибольшее)

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

   Бачимо , у всіх прикладах пропущено  х при коефіцієнті  b .

  1 )  y = x² - 4x + 17 - квадр. функція , тому точка мінімума у вершині

       параболи :

     х₀ = - b/2a = - (- 4 )/2*1 = 2 ;  х₀ = 2 - точка мінімума функції ;

  2) у = 8 − 3х − 2x² - квадр. функція , тому точка максимума у вершині  параболи :

      х₀ = - b/2a = - (- 3 )/( 2*(- 2 )) = - 3/4 ;  х₀ = - 3/4 - точка максимума       функції ;

   3)  y = x² + 6x - 2 ;      xЄ [- 4 ; 0 ] ;

знайдемо критичну точку :   у ' = ( x² + 6x - 2 )' = 2x + 6 = 2(x + 3 ) ;

у ' = 0 ;     2(x + 3 ) = 0 ; ---->  x = - 3Є [- 4 ; 0 ] ;

y(- 4 ) = 16 - 24 - 2 = - 10 ;  y(- 3 ) = 9 - 18 - 2 = - 11 ;  y( 0 ) = 0 + 0 - 2 = - 2 ;

       min y( x ) = y(- 3 ) = - 11 .

    [- 4 ; 0 ]  

     4)  y = - x² - 10x + 15 ;     xЄ [- 1 ; 5 ] ;

 знайдемо критичну точку :   у ' = (- x² - 10x + 15 )' = - 2x - 10 = -2(x + 5 ) ;

у ' = 0 ;    - 2(x + 5 ) = 0 ; ---->  x = - 5∉ [- 1 ; 5 ] ;

   y(- 1 ) = - 1 + 10 + 15 = 24 ;  y( 5 ) = - 25 - 50 + 15 = - 60 ;

      max y( x ) = y(- 1 ) = 24 .

    [- 1 ; 5 ]  

Answer 3

1. Для нахождения точки минимума функции $f(x) = x^2 - 4x + 17$ найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 2x - 4$ $2x - 4 = 0$ $2x = 4$ $x = 2$

Таким образом, точка минимума функции $f(x)$ находится при $x = 2$.

2. Для нахождения точки максимума функции $f(x) = 8 - 3x - 2x^2$ найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = -4x - 3$ $-4x - 3 = 0$ $-4x = 3$ $x = -\frac{3}{4}$

Таким образом, точка максимума функции $f(x)$ находится при $x = -\frac{3}{4}$.

3. Находим значение функции $f(x) = x^2 + 6x - 2$ на границах интервала $[-4, 0]$ и в его критических точках (точках, где производная равна нулю):

При $x = -4$: $f(-4) = (-4)^2 + 6(-4) - 2 = 10$

При $x = 0$: $f(0) = 0^2 + 6(0) - 2 = -2$

Теперь находим производную функции $f(x)$ и находим ее нули:

$f'(x) = 2x + 6$ $2x + 6 = 0$ $2x = -6$ $x = -3$

При $x = -3$: $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) - 2 = -11$

Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-4, 0]$ равно -11 и достигается при $x = -3$.

4. Находим значение функции $f(x) = -x^2 - 10x + 15$ на границах интервала $[-1, 5]$ и в его критических точках:

При $x = -1$: $f(-1) = -(-1)^2 - 10(-1) + 15 = 6$

При $x = 5$: $f(5) = -(5)^2 - 10(5) + 15 = -55$

Теперь находим производную функции $f(x)$ и находим ее нули:

$f'(x) = -2x - 10$ $-2x - 10 = 0$ $-2x = 10$ $x = -5$

При $x = -5$: $f(-5) = -(-5)^2 - 10(-5) + 15 = 40$

Наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-1, 5]$ равно 40 и достигается при $x = -5$.