Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у=х^2-3 і у = 2х. ДОПОМОЖІТЬ БУДЬ ЛАСКА

Answer 1

Ответ:

підставимо у формулу y=x²-3 2x замість y

2x=x²-3 перенесемо 2x вправо

0=x²-3-2x

x²-2x-3=0

використаємо теорему Вієта щоб знайти x

x1+x2=2

x1•x2= -3

x1= -1 – не задовільняє умову задачі

x2= 3

підставимо x в формулу y=2x

y=2•3=6

3, 6 – сторони фігури

S=a•b де a, b – сторони

S=3•6=18

Answer 2

Ответ:

$\frac{32}{3} \ [units^2].$

Объяснение:

эскиз, точки пересечения и неизвестная площадь показаны на картинке во вложении.

1) точки пересечения графиков: (-1;-2) и (3;6).

2) площадь заштрихованной фигуры можно найти при помощи формулы Ньютона-Лейбница, а именно:

$\int\limits^3_{-1} {(2x-x^2+3)} \, dx;$

3) решая интеграл, получаем, что:

$S=(x^2-\frac{x^3}{3} +3x)|^3_{-1}=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}.$

P.S. детали во вложении.

Answer 3

Для знаходження площі фігури, обмеженої лініями у = х^2 - 3 і у = 2х, спершу потрібно знайти точки їх перетину. Ці точки будуть лімітами інтегрування для обчислення площі.

Почнемо з знаходження точок перетину:

1. Поставимо рівності у = х^2 - 3 і у = 2х одна біля одної: х^2 - 3 = 2х

2. Перенесемо все на одну сторону рівняння: х^2 - 2х - 3 = 0

3. Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня: х = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4(1)(-3))) / (2(1))

4. Розкриваємо дужки та робимо обчислення: х = (2 ± √(4 + 12)) / 2 х = (2 ± √16) / 2 х = (2 ± 4) / 2

Отже, ми отримали дві точки перетину: х₁ = (2 + 4) / 2 = 3 х₂ = (2 - 4) / 2 = -1

Тепер, коли ми знайшли обмеження інтегрування (від -1 до 3), ми можемо обчислити площу фігури за допомогою інтегралу:

$Площа = ∫[a, b] (верхня функція - нижня функція) dx$

У нашому випадку верхня функція - це y = 2x, а нижня - y = x^2 - 3. Тоді площа дорівнює:

$Площа = ∫[-1, 3] (2x - (x^2 - 3)) dx$

Тепер знайдемо інтеграл:

$Площа = ∫[-1, 3] (2x - x^2 + 3) dx$

$Площа = [x^2 - (x^3/3) + 3x]_{-1}^{3}$

$Площа = [(3^2 - (3^3/3) + 3*3) - (-1^2 - (-1^3/3) + 3*(-1))]$

$Площа = [(9 - 27/3 + 9) - (1 + 1/3 - 3)]$

$Площа = [(9 - 9 + 9) - (1 + 1/3 - 3)]$

$Площа = [9 - 1 - 1/3 + 3]$

$Площа = 25/3$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = х^2 - 3 і у = 2х, дорівнює 25/3 квадратних одиниць.