Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції: f ( x) = 3x 2 -2x3 .

Answer 1

дивіться фото..................

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції $f(x) = 3x^2 - 2x^3$, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції та розв'язати нерівняння для визначення інтервалів зростання і спадання.

Крок 1: Знайдемо похідну функції $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x^3)$

Для знаходження похідної використовуємо правила диференціювання:

$f'(x) = 6x - 6x^2$

Крок 2: Знайдемо критичні точки, де похідна $f'(x)$ дорівнює нулю або не існує. Знайдемо значення $x$, при яких $f'(x) = 0$:

$6x - 6x^2 = 0$

Факторизуємо це рівняння:

$6x(1 - x) = 0$

Отримуємо два можливих значення для $x$:

1. $6x = 0 \Rightarrow x = 0$
2. $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$

Таким чином, ми маємо дві критичні точки: $x = 0$ і $x = 1$.

Крок 3: Визначимо інтервали зростання і спадання. Для цього можемо взяти тестові точки в кожному з інтервалів між цими критичними точками і визначити знак похідної $f'(x)$ на цих інтервалах.

• Інтервал 1: $(-∞, 0)$ Виберемо тестову точку $x = -1$ (менше 0). Підставимо $x = -1$ в $f'(x)$: $f'(-1) = 6(-1) - 6(-1)^2 = -6 - 6(-1) = -6 + 6 = 0$

  Знак похідної $f'(-1)$ на цьому інтервалі - нуль.

• Інтервал 2: $(0, 1)$ Виберемо тестову точку $x = 0.5$ (між 0 і 1). Підставимо $x = 0.5$ в $f'(x)$: $f'(0.5) = 6(0.5) - 6(0.5)^2 = 3 - 6(0.25) = 3 - 1.5 = 1.5$

  Знак похідної $f'(0.5)$ на цьому інтервалі - позитивний.

• Інтервал 3: $(1, +∞)$ Виберемо тестову точку $x = 2$ (більше 1). Підставимо $x = 2$ в $f'(x)$: $f'(2) = 6(2) - 6(2)^2 = 12 - 24 = -12$

  Знак похідної $f'(2)$ на цьому інтервалі - від'ємний.

Тепер ми можемо підсумувати результати:

• На інтервалі $(-∞, 0)$, $f(x)$ спадає.
• На інтервалі $(0, 1)$, $f(x)$ зростає.
• На інтервалі $(1, +∞)$, $f(x)$ спадає.

Отже, проміжки зростання і спадання функції $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ такі:

• Зростає на інтервалі $(0, 1)$.
• Спадає на інтервалах $(-∞, 0)$ і $(1, +∞)$.