Question

Решите уравнение cos^2x+cosx=8-cosx

Answer 1

$\cos^2x+\cos x=8-\cos x$

$\cos^2x+\cos x-8+\cos x=0$

$\cos^2x+2\cos x-8=0$

Решим квадратное уравнение относительно косинуса.

Можно воспользоваться теоремой Виета и сказать, что сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$\begin{cases} \cos x_1+\cos x_2 =-2 \\ \cos x_1\cos x_2 =-8\end{cases}$

Отсюда:

$\cos x_1=-4;\ \cos x_2 =2$

Но известно, что косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1. Значит, ни одно из получившихся соотношений не может выполняться.

Таким образом, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. Уравнение имеет вид:

cos^2(x) + cos(x) = 8 - cos(x)

Для удобства, давайте преобразуем его, переместив все слагаемые на одну сторону:

cos^2(x) + cos(x) + cos(x) - 8 = 0

Теперь объединим подобные члены:

cos^2(x) + 2cos(x) - 8 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 2 и c = -8. Подставим эти значения:

D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

Теперь мы можем найти два значения cos(x) с использованием квадратного корня из дискриминанта:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

cos(x) = (-2 ± √36) / (2 * 1)

cos(x) = (-2 ± 6) / 2

Теперь найдем два значения cos(x):

1. cos(x) = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2
2. cos(x) = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4

Однако косинус функции ограничен значениями от -1 до 1, поэтому второй корень -4 не подходит.

Итак, у нас есть одно решение:

cos(x) = 2

Чтобы найти значения x, используем обратную функцию косинуса:

x = arccos(2)

Однако значение 2 для косинуса находится вне диапазона [-1, 1], поэтому это уравнение не имеет действительных корней.