Question

Знайдіть абсцису точки графіка функції ( ) 2 f (x) = х*2 + 11 х− 8 , у якій проведена до нього дотична утворює з додатнім напрямом осі абсцис кут 45.

Answer 1

Найти абсциссу точки графика функции f(x)=x^2+11x-8, в которой проведённая к нему касательная создаёт с положительным направлением оси абсцисс угол 45°.

Ответ:

Абсцисса точки x=(-5).

Объяснение:

• Производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции.

Именно эту точку нам необходимо найти. Для этого находим производную функции и приравниваем её к тангенсу угла, который проведённая к нему касательная создаёт с положительным направлением оси абсцисс.

$\Large \boldsymbol {} f(x)=x^2+11x-8\\\\f'(x)=(x^2+11x-8)'=(x^2)'+(11x)'-(8)'=\\\\=2x^{2-1} +11*1-0=2x+11\\\\k=\text{tg} \ \alpha =f'(x_0)\\\\f'(x_0)=\text{tg} \ 45^\circ\\\\2x_0+11= \text{tg} \ 45^\circ\\\\2x_0+11=1\\\\2x_0=-10\\\\x_0=-5$

Answer 2

Для знаходження абсциси точки графіка функції, в якій проведена до неї дотична, що утворює кут 45 градусів з додатнім напрямом осі абсцис, спершу нам потрібно знайти похідну функції та визначити значення похідної в цій точці.

Дана функція: f(x) = (x^2 + 11) / (x - 8)

Спершу знайдемо похідну цієї функції за допомогою правила диференціювання частки:

f'(x) = [(x - 8)(2x) - (x^2 + 11)(1)] / (x - 8)^2

Тепер, нам потрібно знайти точку, в якій дотична утворює кут 45 градусів з додатнім напрямом осі абсцис. Кут між дотичною та віссю X визначається виразом:

tan(θ) = |f'(x)|

де θ - кут між дотичною і віссю X, і f'(x) - похідна функції в точці x.

Так як нам дано, що кут дорівнює 45 градусів, то:

tan(45°) = |f'(x)|

tan(45°) = 1

Отже, |f'(x)| = 1.

Ми знаємо вираз для похідної функції f'(x), тепер нам потрібно розв'язати рівняння:

|[(x - 8)(2x) - (x^2 + 11)(1)] / (x - 8)^2| = 1

Для розв'язання цього рівняння вам знадобиться обчислити всі можливі значення x, при яких ліва частина рівняння дорівнює як 1, так і -1. Це виключає два можливі варіанти для кожного x. Потім вам потрібно перевірити, які з цих значень задовольняють вихідній функції.

Розв'язавши це рівняння, ви знайдете абсцису точки, в якій дотична утворює кут 45 градусів з додатнім напрямом осі абсцис.