Question

Используя обобщённую теорему Виета, найдите многочлен третьей степени, корни которого принадлежат множеству (-1; 1; 3):

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

х1*х2*х3=-1*1*3=-3=-d

х1+х2+х3=-1+1+3=3=-b

x1x2+x1x3+x2x3=-1*1+3*(-1)+3*1=-1-3+3=-1=c

x³+bx²+cx+d

y(x)=x³-3x²-x+3

Answer 2

Обобщенная теорема Виета утверждает, что для многочлена третьей степени вида:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

где $a$, $b$, $c$ и $d$ - коэффициенты многочлена, корни этого многочлена можно найти, используя следующие соотношения:

1. Сумма корней: $-\frac{b}{a}$
2. Произведение двух корней: $\frac{c}{a}$
3. Произведение всех трех корней: $-\frac{d}{a}$

В данном случае, мы знаем, что корни многочлена принадлежат множеству (-1, 1, 3). Таким образом, мы можем записать следующие уравнения:

1. $-1 + 1 + 3 = -\frac{b}{a}$
2. $-1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = \frac{c}{a}$
3. $-1 \cdot 1 \cdot 3 = -\frac{d}{a}$

Теперь решим эти уравнения для $a$, $b$, $c$ и $d$.

1. $-1 + 1 + 3 = 3 = -\frac{b}{a}$ Отсюда получаем: $a = -\frac{1}{3}b$

2. $-1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = -1 + 3 - 3 = -1 = \frac{c}{a}$ Теперь подставим $a$, которое мы выразили в предыдущем шаге: $-1 = \frac{c}{-\frac{1}{3}b}$ Умножим обе стороны на $-\frac{1}{3}b$: $c = \frac{1}{3}b$

3. $-1 \cdot 1 \cdot 3 = -3 = -\frac{d}{a}$ Подставим $a$, которое мы выразили в первом шаге: $-3 = -\frac{d}{-\frac{1}{3}b}$ Умножим обе стороны на $-\frac{1}{3}b$: $d = b$

Теперь у нас есть выражения для $a$, $b$, $c$ и $d$ через коэффициент $b$. Мы можем выбрать любое значение $b$ (кроме 0), и остальные коэффициенты будут определены соответственно. Давайте выберем, например, $b = 3$.

Тогда:

• $a = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$
• $c = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$
• $d = 3$

Таким образом, многочлен третьей степени с корнями (-1, 1, 3) будет выглядеть следующим образом:

$P(x) = -x^3 + 3x^2 + x + 3$