Question

Докажите тождество: 2(1+сos 2α)- sin^2 2α=4 cos^4 α

Answer 1

Основные формулы:

$\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow 1-\sin^2x=\cos^2x$

$\sin2x=2\sin x \cos x$

$\cos2x=2\cos^2x-1$

Преобразуем левую часть к правой:

$2(1+\cos2\alpha )- \sin^2 2\alpha =2(1+2\cos^2\alpha-1)- (\sin2\alpha)^2 =$

$=2\cdot2\cos^2\alpha- (2\sin\alpha\cos\alpha )^2 =4\cos^2\alpha- 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=$

$=4\cos^2\alpha(1- \sin^2\alpha)=4\cos^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=4\cos^4\alpha$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом:

Начнем с левой стороны:

2(1 + cos(2α)) - sin^2(2α)

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения выражения. Для начала, мы знаем следующие тригонометрические тождества:

1. cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)
2. sin^2(2α) = 4sin^2(α)cos^2(α)

Используя эти тождества, давайте упростим выражение:

2(1 + cos(2α)) - sin^2(2α) = 2(1 + (cos^2(α) - sin^2(α))) - 4sin^2(α)cos^2(α)

Теперь раскроем скобки:

2 + 2cos^2(α) - 2sin^2(α) - 4sin^2(α)cos^2(α)

Теперь давайте преобразуем выражение, используя тригонометрические идентичности:

2(1 - sin^2(α)) + 2cos^2(α) - 4sin^2(α)cos^2(α)

Используем тригонометрическое тождество sin^2(α) + cos^2(α) = 1:

2(1 - sin^2(α)) + (2 - 2sin^2(α)) - 4sin^2(α)cos^2(α)

Теперь упростим ещё раз:

2 - 2sin^2(α) + 2 - 2sin^2(α) - 4sin^2(α)cos^2(α)

4 - 4sin^2(α) - 4sin^2(α)cos^2(α)

Теперь давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2α) = 2cos^2(α) - 1. Мы можем переписать cos^2(α) как (cos(2α) + 1)/2:

4 - 4sin^2(α) - 4(sin(2α))^2

Теперь учтем, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α):

4 - 4sin^2(α) - 4(2sin(α)cos(α))^2

Теперь упростим выражение, раскрыв квадраты:

4 - 4sin^2(α) - 4(4sin^2(α)cos^2(α))

Теперь давайте преобразуем последнее слагаемое, используя тождество sin^2(2α) = 4sin^2(α)cos^2(α):

4 - 4sin^2(α) - 4sin^2(2α)

Теперь мы видим, что данное выражение равно правой стороне тождества:

4 cos^4(α)

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество:

2(1 + cos(2α)) - sin^2(2α) = 4 cos^4(α)