Question

(С решением) tgx=ctgx

Answer 1

Ответ:

$tgx=ctgx\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\ne \dfrac{\pi n}{2}\ ,\\\\tgx-ctgx=0\\\\tgx-\dfrac{1}{tgx}=0\ \ ,\ \ \ \dfrac{tg^2x-1}{tgx}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \{\ tg^2x-1=0\ ,\ tgx\ne 0\ \}\ ,\\\\tg^2x=1\ ,\ \ tgx=\pm 1\\\\a)\ tgx=-1\ \ ,\ \ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ tgx=1\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ ,\ k\in Z$

В ответе можно объединить 1-ю и 2-ю  серии решений :

$\boxed{\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ \ n\in Z\ }$

Answer 2

Для решения уравнения tg(x) = ctg(x), мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Сначала преобразуем ctg(x) в терминах tg(x) с использованием тождества:

ctg(x) = 1 / tg(x)

Теперь у нас есть уравнение:

tg(x) = 1 / tg(x)

Умножим обе стороны на tg(x):

tg^2(x) = 1

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

tg(x) = ±1

Теперь у нас есть два возможных решения:

1. tg(x) = 1
2. tg(x) = -1

Давайте найдем значения x для обоих случаев.

1. Для tg(x) = 1:

x = π/4 + πn, где n - любое целое число.

2. Для tg(x) = -1:

x = 3π/4 + πn, где n - любое целое число.

Итак, у нас есть бесконечное количество решений данного уравнения, и они представлены в виде x = π/4 + πn и x = 3π/4 + πn, где n - целое число.