Question

ПОМОГИТЕ! Объясните, пожалуйста, каков принцип решения таких задач. Функція f є парною. Чи може виконуватися рівність:1) 2) 3) Відповідь обґрунтуйте.

Answer 1

Функция $f$ называется парной, если:

$f(x)=f(-x)\;\;,\;\;x\in D(f)$

Учитывая это попробуем узнать, могут ли выполняться равенства:

$1)~f(2)-f(-2)=1$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(2)=f(-2)$

Любое число минус это же число = 0. Значит равенство $f(2)-f(-2)=1$  выполняться не может. Можно это доказать. Пусть $f(2)=f(-2)=x$, тогда:

$x-x=1\;\;\Rightarrow\;\;0=1$ - не верно. Следовательно, уравнение не имеет корней и $f(2)-f(-2)$ не может быть равно единице.

$2)~f(5)\cdot f(-5)=-2$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(5)=f(-5)$

При умножении двух равных чисел не может получиться отрицательное число. Потому что при умножении положительных чисел получается положительное число, и при умножении отрицательных чисел также получается положительное число. То есть:

$(+)\cdot(+)=(+)\\\\(-)\cdot(-)=(+)$

Значит равенство $f(5)\cdot f(-5)=-2$ выполняться не может (поскольку -2 -- отрицательное число). Это можно доказать. Пусть $f(5)=f(-5)=x$, тогда $x\cdot x=-2\;\;\Rightarrow\;\;x^2=-2\;\;\Rightarrow\;\;x=\pm\sqrt{-2}$ корня квадратного из отрицательного числа не существует. Следовательно уравнение не имеет решений и $f(5)\cdot f(-5)$ не может быть равно -2.

$3)\dfrac{f(1)}{f(-1)}=0$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(1)=f(-1)$

При делении равных чисел результат всегда равен 1. Значит равенство $3)\dfrac{f(1)}{f(-1)}=0$ выполняться не может. Доказательство:

Пусть $f(1)=f(-1)=x$, тогда $\dfrac{x}{x}=0\;\;,\;\;x\ne0$. Домножим обе части уравнения на x, тогда $x=0$, что не удовлетворяет ОДЗ. Значит уравнение не имеет корней и $\dfrac{f(1)}{f(-1)}$ не может быть равно 0.

Answer 2

К сожалению, вы предоставили заголовок задачи, но не предоставили саму функцию f и условия 1), 2), 3), поэтому я не могу предоставить конкретный ответ. Однако я могу объяснить общий принцип решения задач, связанных с парностью функций.

Если функция $f$ является парной (что означает, что $f(x) = f(-x)$ для любого $x$), то у неё симметричный график относительно оси $y$. В таком случае:

1. $f(0) = f(-0) = f(0)$: Так как $f$ парная, то $f(0)$ и $f(-0)$ совпадают, и равенство верно.

2. $f(x) + f(-x) = 0$: Из парности следует, что $f(x) = f(-x)$, поэтому $f(x) + f(-x) = 2f(x)$. Если $f(x) = -f(x)$, то $f(x) + f(-x) = 0$.

3. $f(x) - f(-x) = 0$: Аналогично, так как $f(x) = f(-x)$, то $f(x) - f(-x) = 0$.

Важно отметить, что эти результаты следуют из предположения о парности функции $f$. Если у вас есть конкретная функция $f$ и условия, пожалуйста, предоставьте их, чтобы я мог предоставить более точный ответ.