Question

Чему равняется знаменатель дроби 100!/6^100 после сокращения. (n! = 1 ∙ 2 ∙ ... ∙ n)

Answer 1

Ответ:

2^3*3^52

Объяснение:

в 100! чисел кратных 2 -- [100/2]=50

в 100! чисел кратных 4=2*2 -- [100/4]=25

в 100! чисел кратных 8=2*2*2 -- [100/8]=12

в 100! чисел кратных 16=2*2*2*2 -- [100/16]=6

в 100! чисел кратных 32=2*2*2*2*2 -- [100/32]=3

в 100! чисел кратных 64=2*2*2*2*2*2 -- [100/64]=1

2 в 7 степени и больше - уже не попадутся. так как уже 2*2*2*2*2*2*2=128>100

(  [ ] -- означает целую часть числа - то что до запятой в числе [13.656]=13  )

итого в разложении на простые множители 2 в 100! будет 50+25+12+6+3+1=97 раз

в 100! чисел кратных 3 -- [100/3]=33

в 100! чисел кратных 9=3*3 -- [100/9]=11

в 100! чисел кратных 27=3*3*3 -- [100/27]=3

в 100! чисел кратных 81=3*3*3*3 -- [100/81]=1

3 в 5 степени и больше - уже не попадутся. так как уже 3*3*3*3*3=243>100

итого в разложении на простые множители 3 в 100! будет 33+11+3+1=48 раз

так как 6^100=(2*3)^100=2^100*3^100=2^(97+3)*3^(48+52)

то в знаменателе после сокращения останется произведение

2^3*3^52

Answer 2

Для нахождения знаменателя дроби $\frac{100!}{6^{100}}$ после сокращения, давайте разложим числитель и знаменатель на простые множители.

1. Числитель (100!): Разложим факториал 100! на простые множители. Это довольно сложная задача, но для наших целей мы можем просто определить, сколько раз встречается простое число 2 и простое число 3 в разложении 100!.

2. Знаменатель (6^{100}): Разложим $6^{100}$ на простые множители. $6 = 2 \cdot 3$, поэтому $6^{100} = (2 \cdot 3)^{100} = 2^{100} \cdot 3^{100}$.

Теперь мы можем сократить общие множители числителя и знаменателя:

$\frac{100!}{6^{100}} = \frac{2^a \cdot 3^b \cdot \ldots}{2^{100} \cdot 3^{100}}$

где $a$ и $b$ - количество простых множителей 2 и 3 в разложении 100!.

Таким образом, знаменатель после сокращения будет:

$6^{100} = 2^{100} \cdot 3^{100}$

Итак, знаменатель равен $2^{100} \cdot 3^{100}$.