Question

Срочно! Нужно доказать утверждение о делимости. Квадрат, любого простого числа p≥5 при делении на 24 дает остаток 1.

Answer 1

Лемма 1. Любое простое $p \geqslant 5$ можно представить либо как $(6k+1)$, либо как $(6k-1), \quad k \in \mathbb N$

Доказательство. Проверим для первых двух:

$7=6 \cdot 1+1\\11=6 \cdot 2-1$

Докажем в общем виде. Любое натуральное число $m$ при делении на 6 может дать один из шести остатков от 0 до 5, то есть его можно представить одним из шести способов:

$m=6n\\m=6n+1\\m=6n+2\\m=6n+3\\m=6n+4\\m=6n+5, \qquad m,n \in \mathbb N.$

Все числа, кроме $6n+1$ и $6n+5$, являются составными (потому что 6 делится на остаток). Перепишем $(6n+5)$ следующим образом:

$6n+5=6n+6-1=6 \cdot (n+1)-1$

Сделав замену $n+1=d$, получим, что простое число можно представить либо в виде $(6n+1)$, либо $(6d-1)$. Но $d$ — тоже натуральное число, только записанное другой буквой. Лемма доказана.

Лемма 2. При любом натуральном $k$ число $3k^2\pm k$ чётно.

Доказательство. $3k^2 \pm k=k \cdot (3k\pm1)$. Если $k$ чётно, то утверждение очевидно. Если $k$ нечётно, то $3k$ тоже нечётно, а значит, $(3k\pm1)$ чётно. Лемма доказана.

Теперь докажем требуемое утверждение.

Доказательство. По лемме 1 число $p$ можно представить либо как $6k-1$, либо $6k+1$:

$p=6k \pm 1$

$p^2=36k^2\pm12k+1=12\cdot (3k^2 \pm k)+1$

По лемме 2 число в скобках делится на 2, а значит, его можно записать в виде $3k^2\pm k=2n, \qquad n \in \mathbb N.$ Получим:

$p^2=12 \cdot 2n+1=24n+1$

Эта запись и означает, что число при делении на 24 даёт остаток 1. Утверждение доказано.

Если что-нибудь непонятно — спрашивай.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Пусть p - простое число, большее или равное 5. Мы хотим доказать, что квадрат этого числа при делении на 24 дает остаток 1.

Мы можем представить p как:

p = 24k + r,

где k - некоторое целое число, а r - остаток при делении p на 24. Теперь мы можем вычислить квадрат p:

p^2 = (24k + r)^2 = 24^2k^2 + 2 * 24kr + r^2.

Заметим, что первый член (24^2k^2) является кратным 24, так как 24^2 делится на 24. Также второй член (2 * 24kr) также кратен 24, так как 2 * 24 делится на 24. Следовательно, квадрат p можно записать как:

p^2 = 24m + r^2,

где m = 24k^2 + 2kr.

Теперь давайте рассмотрим остаток r^2 при делении на 24. Возможны всего четыре варианта остатков при делении на 24: 0, 1, 4 и 9 (поскольку квадрат любого числа дает неотрицательный остаток).

Если r^2 = 0 (остаток 0 при делении на 24), то p^2 также был бы кратен 24, что противоречит нашему утверждению.

Если r^2 = 4 (остаток 4 при делении на 24), то p^2 также был бы кратен 24, что также противоречит нашему утверждению.

Если r^2 = 9 (остаток 9 при делении на 24), то p^2 также был бы кратен 24, что также противоречит нашему утверждению.

Остается только один вариант:

Если r^2 = 1 (остаток 1 при делении на 24), то p^2 действительно даёт остаток 1 при делении на 24.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого простого числа p (p ≥ 5) при делении на 24 дает остаток 1.