Question

Помогите решить неравенство m^2+2n^2+4>2n(m+2)

Answer 1

$m^2+2n^2+4 > 2n(m+2)$

$m^2+2n^2+4 > 2mn+4n$

$m^2+2n^2+4-2mn-4n > 0$

$m^2-2mn+n^2+n^2-4n+4 > 0$

$(m-n)^2+(n-2)^2 > 0$

Так как квадрат любой величины принимает только неотрицательные значения, то и сумма квадратов принимает только неотрицательные значения.

Соответственно, сумма квадратов примет положительные значения, когда хотя бы один из квадратов будет отличен от нуля.

Найдем, при каких значениях переменных неравенство не будет выполняться:

$\begin{cases} m-n= 0 \\ n-2=0\end{cases}$

$\begin{cases} m=n \\ n=2\end{cases}$

Таким образом, в случае $m=n=2$ неравенство не выполняется, в остальных случаях - выполняется.

Answer 2

Давайте решим это неравенство поочередно. Ваше неравенство:

m^2 + 2n^2 + 4 > 2n(m + 2)

Перенесем все элементы на одну сторону неравенства:

m^2 + 2n^2 + 4 - 2n(m + 2) > 0

Теперь раскроем скобки во втором члене:

m^2 + 2n^2 + 4 - 2nm - 4n > 0

Сгруппируем похожие члены:

m^2 + 2n^2 - 2nm - 4n + 4 > 0

Теперь мы можем попробовать решить это неравенство методом квадратичных уравнений. Однако здесь есть две переменные, m и n, и это не квадратное уравнение. Поэтому нам нужно рассмотреть это неравенство как неравенство относительно двух переменных.

Попробуем разложить его на два неравенства, одно относительно m и другое относительно n:

1. m^2 - 2nm + 2n^2 + 4 - 4n > 0

2. 4n - m^2 + 2nm - 2n^2 - 4 < 0

Теперь мы имеем систему двух неравенств. Решим каждое из них по отдельности.

1. m^2 - 2nm + 2n^2 + 4 - 4n > 0

Сначала добавим 4n к обеим сторонам:

m^2 - 2nm + 2n^2 + 4 - 4n + 4n > 4n

m^2 - 2nm + 2n^2 + 4n > 4n

Теперь вынесем общий множитель n за скобку:

n(m^2 - 2m + 2n + 4) > 4n

Теперь разделим обе стороны на n. Обратите внимание, что мы должны учесть знак n (если n положительное, то знак неравенства не меняется, если n отрицательное, то знак неравенства меняется):

m^2 - 2m + 2n + 4 > 4, если n > 0 m^2 - 2m + 2n + 4 < 4, если n < 0

Теперь рассмотрим второе неравенство:

2. 4n - m^2 + 2nm - 2n^2 - 4 < 0

Сначала добавим m^2 к обеим сторонам:

4n + 2nm - 2n^2 - 4 + m^2 < 0

Теперь разделим обе стороны на 2:

2n + nm - n^2 - 2 + m^2/2 < 0

Теперь сгруппируем m-члены и n-члены:

n(m + 2) + (m^2/2 - n^2 - 2) < 0

Теперь, аналогично первому неравенству, разделим обе стороны на n и учтем знак n:

(m + 2) + (m^2/2n - n - 2/n) < 0, если n > 0 (m + 2) + (m^2/2n - n - 2/n) > 0, если n < 0

Итак, у нас есть система двух неравенств, которую мы получили из исходного неравенства:

1. m^2 - 2m + 2n + 4 > 4, если n > 0 m^2 - 2m + 2n + 4 < 4, если n < 0

2. (m + 2) + (m^2/2n - n - 2/n) < 0, если n > 0 (m + 2) + (m^2/2n - n - 2/n) > 0, если n < 0

Вы можете рассмотреть каждое из этих неравенств для разных значений n и m и определить, какие значения удовлетворяют исходному неравенству m^2 + 2n^2 + 4 > 2n(m + 2).