Question

Знайдіть множину роз'вязків нерівності: 1) x² – 7x + 12 ≤ 0; 2) x2 – 2x – 24 > 0; 3) –x² – x + 6 ≥ 0; 4) –x2 + 3x + 10 < 0

Answer 1

1)

${x}^{2} - 7x + 12 \leqslant 0$

По теореме Виета

${x}^{2}+ bx + c = 0 \\ x_{1}+x_{2} =- b\\ x_{1}x_{2}=c$

${x}^{2} - 7x + 12 = 0 \\ x_{1}+x_{2}=7\\ x_{1}x_{2} =12\\ x_{1} =3\\ x_{2} =4 \\ (x - 3)(x - 4) \leqslant 0 \\ + + + + [3] - - - - [4] + + + + \\ x \: \in \: [3 \: ; \: 4]$

2)

${x}^{2} - 2x - 24 > 0$

По теореме Виета:

${x}^{2} - 2x - 24 = 0 \\ x_{1}+x_{2}=2\\ x_{1}x_{2} = - 24\\ x_{1} =6\\ x_{2} = - 4 \\ (x - 6)(x + 4) > 0 \\ + + + + ( - 4) - - - - (6) + + + + \\ x \: \in \: ( - \infty ; \: - 4)U(6; \: + \infty )$

3)

$- {x}^{2} - x + 6 \geqslant 0 \\ {x}^{2} + x - 6 \leqslant 0$

По теореме Виета:

${x}^{2} + x - 6 = 0 \\ x_{1}+x_{2}= - 1\\ x_{1}x_{2} = - 6\\ x_{1} = - 3\\ x_{2} =2 \\ (x + 3)(x - 2) \leqslant 0 \\ + + + + [ - 3] - - - - [2] + + + + \\ x \:\in \: [ - 3; \: 2]$

4)

$- {x}^{2} + 3x + 10 < 0 \\ {x}^{2} - 3x - 10 > 0$

По теореме Виета:

$x_{1}+x_{2}=3\\ x_{1}x_{2} = - 10\\ x_{1} = - 2\\ x_{2} =5 \\ (x +2 )(x - 5) > 0 \\ + + + + ( - 2) - - - - (5) + + + + \\ x \:\in \: ( - \infty ; \: - 2)U(5; \: + \infty )$

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожну нерівність окремо:

1. x² - 7x + 12 ≤ 0:

Спростимо спершу ліву частину: (x - 4)(x - 3) ≤ 0

Тепер, ми можемо визначити знак виразу (x - 4)(x - 3) для різних значень x:

• Коли x < 3, обидва добутки (x - 4) і (x - 3) негативні, отже, добуток (x - 4)(x - 3) буде позитивним.
• Коли 3 < x < 4, перший добуток (x - 4) від'ємний, а другий (x - 3) позитивний, отже, добуток (x - 4)(x - 3) буде негативним.
• Коли x > 4, обидва добутки (x - 4) і (x - 3) позитивні, отже, добуток (x - 4)(x - 3) буде позитивним.

Таким чином, множина розв'язків для нерівності x² - 7x + 12 ≤ 0 буде: x ≤ 3 або 3 ≤ x ≤ 4.

2. x² - 2x - 24 > 0:

Спростимо спершу ліву частину: (x - 6)(x + 4) > 0

Знову визначимо знак виразу (x - 6)(x + 4) для різних значень x:

• Коли x < -4, обидва добутки (x - 6) і (x + 4) негативні, отже, добуток (x - 6)(x + 4) буде позитивним.
• Коли -4 < x < 6, перший добуток (x - 6) від'ємний, а другий (x + 4) позитивний, отже, добуток (x - 6)(x + 4) буде негативним.
• Коли x > 6, обидва добутки (x - 6) і (x + 4) позитивні, отже, добуток (x - 6)(x + 4) буде позитивним.

Множина розв'язків для нерівності x² - 2x - 24 > 0 буде: x < -4 або x > 6.

3. -x² - x + 6 ≥ 0:

Спростимо спершу ліву частину: -(x - 2)(x + 3) ≥ 0

Знову визначимо знак виразу -(x - 2)(x + 3) для різних значень x:

• Коли x < -3, обидва добутки (x - 2) і (x + 3) позитивні, отже, добуток -(x - 2)(x + 3) буде негативним.
• Коли -3 < x < 2, перший добуток (x - 2) від'ємний, а другий (x + 3) позитивний, отже, добуток -(x - 2)(x + 3) буде позитивним.
• Коли x > 2, обидва добутки (x - 2) і (x + 3) негативні, отже, добуток -(x - 2)(x + 3) буде негативним.

Множина розв'язків для нерівності -x² - x + 6 ≥ 0 буде: x ≤ -3 або -3 < x < 2.

4. -x² + 3x + 10 < 0:

Спростимо спершу ліву частину: -(x - 5)(x + 2) < 0

Знову визначимо знак виразу -(x - 5)(x + 2) для різних значень x:

• Коли x < -2, обидва добутки (x - 5) і (x + 2) позитивні, отже, добуток -(x - 5)(x + 2) буде негативним.
• Коли -2 < x < 5, перший добуток (x - 5) від'ємний, а другий (x + 2) позитивний, отже, добуток -(x - 5)(x + 2) буде позитивним.
• Коли x > 5, обидва добутки (x - 5) і (x + 2) негативні, отже, добуток -(x - 5)(x + 2) буде негативним.

Множина розв'язків для нерівності -x² + 3x + 10 < 0 буде: -2 < x < 5.