Question

Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7 см. Найдите медианы данного треугольника.

Answer 1

Ответ:

15; 18; 21

Объяснение:

Как известно, центр тяжести треугольника расположен в точке пересечения медиан (эта точка иногда еще называется центроидом треугольника). Кроме того, известно, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, в условии задачи нам даны трети медиан. Поэтому длины медиан будут такие:

                                       5·3=15; 6·3=18; 7·3=21.

Answer 2

Для нахождения медиан треугольника, давайте воспользуемся правилом о том, что медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам.

Дано, что центр тяжести (барицентр) треугольника отстоит от середин его сторон на равные расстояния: 5, 6 и 7 см.

Обозначим стороны треугольника a, b и c, а центр тяжести от середины каждой стороны на расстояние $d$. Тогда:

• Для стороны a: $a_1 = \frac{a}{2} + d$
• Для стороны b: $b_1 = \frac{b}{2} + d$
• Для стороны c: $c_1 = \frac{c}{2} + d$

У нас есть три уравнения, по одному на каждую сторону треугольника. Также известно, что $d$ равно 5, 6 и 7 см соответственно.

Решим систему уравнений для $a$, $b$ и $c$:

$$\begin{align*} \frac{a}{2} + 5 &= \frac{b}{2} + 6 \\ \frac{b}{2} + 6 &= \frac{c}{2} + 7 \\ \frac{c}{2} + 7 &= \frac{a}{2} + 5 \\ \end{align*}$$

Решив эту систему уравнений, найдем значения $a$, $b$ и $c$.

После этого медианы будут равны половинам соответствующих сторон:

• Медиана к стороне $a$ будет равна $m_a = \frac{a}{2}$
• Медиана к стороне $b$ будет равна $m_b = \frac{b}{2}$
• Медиана к стороне $c$ будет равна $m_c = \frac{c}{2}$