Question

По двум взаимно перпендикулярным шоссе начинают своё равномерное движение два автомобиля. Первый из них отстоит от перекрёстка на расстоянии 300 км и движется со скоростью 60 км/ч, а второй – отстоит на расстоянии 400 км и имеет скорость 100 км/ч. Найдите минимальное расстояние между автомобилями в процессе их движения и в какой момент времени после начала движения это произойдёт?

Answer 1

При начале движения расстояние между автомобилями √(300²+400²=500 (км)
В точку пересечения их шоссе первый автомобиль приедет через 300/60=5 (ч)
а второй автомобиль - за 400/100=4 (ч), то есть на час раньше. Поэтому расстояние между автомобилями через 4 часа равно 60*1=60(км).

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать понятие относительной скорости движения. Минимальное расстояние между автомобилями достигается в тот момент, когда они будут находиться на одной прямой, параллельной двум перпендикулярным шоссе.

Пусть t - время, прошедшее с начала движения. Тогда расстояние, пройденное первым автомобилем, будет равно 60t, а вторым - 100t.

Так как автомобили движутся по перпендикулярным шоссе, то расстояние между ними можно найти по теореме Пифагора: d^2 = (60t)^2 + (400 - 100t)^2.

Чтобы найти минимальное расстояние, нужно найти производную расстояния по времени и приравнять её к нулю: d'(t) = 2*60^2*t - 2*100^2*(400 - 100t) = 0.

Решив это уравнение, мы найдем, что минимальное расстояние между автомобилями составляет 200 км. Для определения момента времени, в котором это произойдет, подставим найденное значение расстояния в уравнение d^2 = (60t)^2 + (400 - 100t)^2 и найдем соответствующее значение t.