Question

Розв’яжіть рівняння: a) Sin 2x= 1 b) ctg x/2= -1

Answer 1

a) Sin 2x = 1

Розглянемо спочатку, які значення може мати sin 2x. Знаємо, що:

sin 2x має значення в діапазоні від -1 до 1

sin 2x = 1 означає, що 2x дорівнює арксинусу 1, тобто 2x = π/2 + 2πk, де k - ціле число

Тоді x = (π/2 + 2πk) / 2 = π/4 + πk, де k - ціле число.

Отже, розв'язками рівняння є всі числа вигляду x = π/4 + πk, де k - ціле число.

b) ctg x/2 = -1

Скористаємося властивостями тангенсу та котангенсу:

ctg x/2 = -1 <==> tan(x/2) = -1/ctg(x/2) = -1/-1 = 1

Маємо тангенс кута, який дорівнює 45 градусам, тобто x/2 = π/4 + πk, де k - ціле число.

Тоді x = 2(π/4 + πk) = π/2 + 2πk, де k - ціле число.

Отже, розв'язками рівняння є всі числа вигляду x = π/2 + 2πk, де k - ціле число.

Answer 2

a) Рівняння Sin 2x = 1:

Sin 2x = 1 можна розв'язати наступним чином:

Спочатку знайдемо всі можливі значення 2x, для яких Sin 2x = 1. Сінус 2x дорівнює 1, коли 2x дорівнює pi/2 (половина періоду синуса):

2x = pi/2

Тепер розв'яжемо для x:

x = (pi/2) / 2 x = pi/4

Отже, рішенням рівняння Sin 2x = 1 є x = pi/4.

b) Рівняння ctg(x/2) = -1:

ctg(x/2) = -1 можна розв'язати наступним чином:

Спочатку знайдемо всі можливі значення (x/2), для яких ctg(x/2) = -1. Котангенс -1 відомий для деяких кутів. Один з таких кутів - pi/4, тому:

x/2 = pi/4

Тепер розв'яжемо для x:

x = (pi/4) * 2 x = pi/2

Отже, рішенням рівняння ctg(x/2) = -1 є x = pi/2.