Question

Найдите промежуток убывания функции у=1/3х^3+1/2х^2 ​

Answer 1

Ответ:

Для нахождения промежутка убывания функции нужно найти ее производную и решить неравенство f'(x) < 0.

f(x) = (1/3)x^3 + (1/2)x^2

f'(x) = x^2 + x

Теперь найдем корни производной:

x^2 + x = 0

x(x+1) = 0

x1 = 0, x2 = -1

Получили две точки, которые разбивают ось x на три интервала: (-бесконечность, -1), (-1, 0), (0, +бесконечность).

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проанализируем знак производной в этих точках:

f'(-2) = 2 > 0, f'(-0.5) = -0.25 < 0, f'(1) = 2 > 0

Мы видим, что производная меняет знак с положительного на отрицательный на интервале (-1, 0), а затем снова меняет знак с отрицательного на положительный на интервале (0, +бесконечность). Следовательно, функция убывает на интервале (-1, 0).

Ответ: функция убывает на интервале (-1, 0).

Answer 2

Чтобы найти промежуток убывания функции $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$, мы должны выяснить, где производная этой функции отрицательна.

Для этого сначала найдем производную $y'$ функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right)$

Используя правила дифференцирования, получаем: $y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x$ $y' = x^2 + x$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 + x = 0$, чтобы определить, где производная $y'$ равна нулю: $x^2 + x = 0$

Это уравнение можно разложить на множители: $x(x + 1) = 0$

Из этого уравнения видно, что корни равны $x = 0$ и $x = -1$.

Теперь мы знаем точки, в которых производная $y'$ равна нулю: $x = 0$ и $x = -1$. Чтобы определить знак производной в интервалах между этими точками, можно выбрать тестовую точку в каждом интервале и подставить её в $y'$.

1. Выберем тестовую точку $x = -2$, которая находится слева от $x = -1$: $y'(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ Так как $y'(-2)$ положительное, производная $y'$ положительна в интервале $(-∞, -1)$.

2. Выберем тестовую точку $x = 0.5$, которая находится между $x = 0$ и $x = -1$: $y'(0.5) = (0.5)^2 + 0.5 = 0.25 + 0.5 = 0.75$ Так как $y'(0.5)$ положительное, производная $y'$ положительна в интервале $(-1, 0)$.

3. Выберем тестовую точку $x = 2$, которая находится справа от $x = 0$: $y'(2) = (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$ Так как $y'(2)$ положительное, производная $y'$ положительна в интервале $(0, +∞)$.

Таким образом, производная $y'$ положительна на интервалах $(-∞, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +∞)$. Это означает, что функция $y$ убывает на этих интервалах.

Итак, промежуток убывания функции $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ - это интервалы $(-∞, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +∞)$.