Question

Упрости выражение: 2sin^2x-cos^2x и найдите его значение при x = п/8

Answer 1

Ответ:

Формулы понижения степени , которые следуют из формул косинуса двойного угла :

  $\bf sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2}\ \ ,\ \ \ cos^2x=\dfrac{1+cos2x}{2}$    .

$\bf 2sin^2x-cos^2x=2\cdot \dfrac{1-cos2x}{2}-\dfrac{1+cos2x}{2}=1-cos2x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot cos2x=\\\\\\=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot cos2x\\\\\\x=\dfrac{\pi }{8}\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot cos2x =\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot cos(2\cdot \dfrac{\pi }{8})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot cos\dfrac{\pi }{4}=\\\\\\=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{2-3\sqrt2}{4}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Заметим, что: $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

2. Теперь выразим $\sin^2x$ из этого тождества: $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

3. Заменим $\sin^2x$ в вашем выражении: $2\sin^2x - \cos^2x = 2(1 - \cos^2x) - \cos^2x$.

4. Раскроем скобки: $2 - 2\cos^2x - \cos^2x$.

5. Упростим дальше: $2 - 3\cos^2x$.

Теперь у нас есть упрощенное выражение $2 - 3\cos^2x$. Давайте найдем его значение при $x = \frac{\pi}{8}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \approx 0.9239$ (округлим до четырех знаков после запятой).

Теперь подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$2 - 3\cdot(0.9239)^2 \approx 2 - 3\cdot0.8532 \approx 2 - 2.5596 \approx -0.5596$.

Итак, значение выражения $2\sin^2x - \cos^2x$ при $x = \frac{\pi}{8}$ приближенно равно примерно -0.5596.