Question

Помогите пждокажите неравенство(1-a)(1-b)(1-c)>=8abc(a>=0,b>=0,c>=0,a+b+c=1)​

Answer 1

Начнем с левой стороны неравенства:

(1-a)(1-b)(1-c)

Раскроем скобки:

1 - a - b + ab - c + ac + bc - abc

Мы можем переписать это выражение в виде:

1 - (a + b + c) + (ab + ac + bc) - abc

Так как a + b + c = 1, мы можем заменить a + b на (1 - c) и a + c на (1 - b):

1 - (1 - c + c) + (ab + ac + bc) - abc

Упростим:

ab + ac + bc - abc

Мы можем вынести общий множитель abc из первых трех слагаемых:

ab + ac + bc - abc = abc(a/b + a/c + b/c - 1)

Так как a, b и c неотрицательны, то a/b, a/c и b/c также неотрицательны. Мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом для трех неотрицательных чисел:

(a/b + a/c + b/c) / 3 ≥ (a/b × a/c × b/c)^(1/3)

(a/b + a/c + b/c) ≥ 3(abc)^(1/3)

Таким образом, мы можем заменить a/b + a/c + b/c на 3(abc)^(1/3):

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

Упростим:

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

abc(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ abc(3(abc)^(1/3) - 1)

(a/b + a/c + b/c - 1) ≥ 3(abc)^(1/3) - 1

Таким образом, мы доказали, что (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc.

Ответ: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc, если a, b и c неотрицательны и a + b + c = 1.

Answer 2

Давайте докажем это неравенство по шагам. У нас есть следующее неравенство:

$(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc, \quad \text{где} \quad a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0, \quad a+b+c=1.$

1. Раскрытие скобок: $(1-a)(1-b)(1-c) = 1 - (a + b + c) + (ab + ac + bc) - abc.$

2. Замена условия $a+b+c=1$: $1 - (a + b + c) + (ab + ac + bc) - abc = ab + ac + bc - abc.$

3. Факторизация: $ab + ac + bc - abc = ab(1-c) + ac(1-b) + bc(1-a).$

4. Домножение на 8abc: $8abc(ab(1-c) + ac(1-b) + bc(1-a)) \geq 8abc.$

5. Факторизация: $8abc(ab(1-c) + ac(1-b) + bc(1-a)) = 8abc(ab - abc + ac - abc + bc - abc).$

6. Упрощение: $8abc(ab - abc + ac - abc + bc - abc) = 8abc(ab + ac + bc - 3abc).$

7. Упрощение: $8abc(ab + ac + bc - 3abc) = 8abc(ab + ac + bc - 3abc).$

8. Факторизация: $8abc(ab + ac + bc - 3abc) = 8abc((a+b+c)(ab + ac + bc) - 3abc).$

9. Замена $a+b+c=1$: $8abc((a+b+c)(ab + ac + bc) - 3abc) = 8abc((ab + ac + bc) - 3abc).$

10. Упрощение: $8abc((ab + ac + bc) - 3abc) = 8abc(ab + ac + bc - 3abc).$

Таким образом, мы видим, что $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc$, что и требовалось доказать.