Question

Доказать Неравенство:(a+b)(b+c)(c+a) больше или равен 8abc

Answer 1

По неравенству Коши

$a+b\geqslant2\sqrt{ab}\\ b+c\geqslant2\sqrt{bc}\\ c+a\geqslant2\sqrt{ca}$

Умножив все три неравенства, получим:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим утверждает, что для любых положительных чисел $x$ и $y$ выполняется следующее:

$\frac{{x + y}}{2} \geq \sqrt{xy}$

Теперь вернемся к нашему неравенству:

$(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc$

Давайте разберем его частями. Мы заметим, что каждая из пар скобок соответствует $(a + b)$, $(b + c)$ и $(c + a)$.

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для каждой пары:

1. $(a + b) \geq 2\sqrt{ab}$
2. $(b + c) \geq 2\sqrt{bc}$
3. $(c + a) \geq 2\sqrt{ca}$

Теперь перемножим все три неравенства:

$(a + b)(b + c)(c + a) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc$

Таким образом, мы получили:

$(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc$

Что и требовалось доказать.