Question

Покажите что cos2θ+sinθ=1 можно записать в виде ksin2^2θ-sinθ=0

Answer 1

Для решения данной задачи мы должны привести выражение cos2θ + sinθ к виду, подходящему для использования формулы дискриминанта.

Начнем с преобразования выражения cos2θ + sinθ. Мы знаем, что:

cos2θ = 1 - sin2θ

Подставим это в исходное выражение:

cos2θ + sinθ = 1 - sin2θ + sinθ

= 1 - sin2θ + sinθ - 1/4 + 1/4 (мы добавили и вычли 1/4, чтобы завершить квадрат)

= -(sinθ - 1/2)2 + 5/4

Теперь мы можем записать наше исходное уравнение в виде:

-(sinθ - 1/2)2 + 5/4 + sinθ - 1 = 0

После приведения подобных членов и упрощения получаем:

sin2θ - 2sinθ + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта. Заменим sinθ на x, чтобы получить:

x2 - 2x + 1 = 0

Дискриминант этого уравнения равен:

D = b2 - 4ac = 4 - 4 = 0

Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть только один корень уравнения:

x = 1

Заменяя x на sinθ, мы получаем:

sinθ = 1

Это верно только для угла 90°. Проверка показывает, что это действительно решение исходного уравнения.

Таким образом, мы доказали, что выражение cos2θ + sinθ = 1 может быть записано в виде ksin2^2θ - sinθ = 0, где k = 5/4.

Answer 2

Давайте попробуем преобразовать уравнение cos(2θ) + sin(θ) = 1 в виде ksin^2(2θ) - sin(θ) = 0.

Для этого сначала воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла для cos(2θ):

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1.

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

2cos^2(θ) - 1 + sin(θ) = 1.

Давайте теперь перенесем все слагаемые на левую сторону:

2cos^2(θ) - sin(θ) - 1 = 0.

Теперь у нас есть уравнение вида ksin^2(2θ) - sin(θ) = 0, где k = 2 и 2θ эквивалентно θ. Таким образом, уравнение cos(2θ) + sin(θ) = 1 можно записать в виде ksin^2(2θ) - sin(θ) = 0, где k = 2.