Question

Помогите пожалуйста, ничего не понимаю Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями 1) y=1/2x+3; x=0; x=2; y=0 2) y^2 = 2x; x^2=2y

Answer 1

y=1/2x+3; x=0; x=2; y=0

Нам даны 4 линии, которые ограничивают фигуру:

y=1/2x+3, которая является наклонной прямой, пересекающей ось y в точке (0,3) и ось x в точке (6,0);

x=0, что является вертикальной прямой, проходящей через начало координат (0,0);

x=2, также являющейся вертикальной прямой, пересекающей ось x в точке (2,0);

y=0, которая является горизонтальной прямой, проходящей через ось x.

Чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем разбить ее на две части: треугольник и трапецию. Треугольник имеет основание 2 и высоту 3, поэтому его площадь равна (1/2) * 2 * 3 = 3. Трапеция имеет основания 3 и 1 (расстояние между прямыми y=1/2x+3 и y=0), и высоту 2 (расстояние между прямыми x=0 и x=2). Площадь трапеции равна (1/2) * (3 + 1) * 2 = 4. Итак, общая площадь фигуры равна 3 + 4 = 7.

y^2 = 2x; x^2=2y

Здесь нам даны две кривые, которые также ограничивают фигуру. Уравнение y^2 = 2x описывает параболу, которая открывается вправо и проходит через точку (0,0). Уравнение x^2 = 2y также описывает параболу, но она открывается вверх и проходит через точку (0,0).

Чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем воспользоваться методом разбиения на вертикальные полосы. Для каждого значения x между 0 и 2 мы можем найти соответствующие значения y на обеих кривых, и затем найти расстояние между этими значениями y. Поскольку мы рассматриваем вертикальные полосы, ширина каждой полосы будет равна dx = 1, и площадь каждой полосы будет равна ширини * высота.

Итак, мы можем записать интеграл для вычисления площади фигуры:

S = ∫[0,2] (y2 - x2/2) dx

Здесь y2 - x2/2 - это высота вертикальной полосы в точке x, которую мы находим, вычитая y-координату на параболе y^2 = 2x из x-координаты на параболе x^2 = 2y.

Вычисляя интеграл, получаем:

S = ∫[0,2] (y2 - x2/2) dx = ∫[0,2] (2x - x2/2) dx = [x2 - x3/6] [0,2] = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2 = 2x и x^2 = 2y, равна 4/3.

Answer 2

Конечно, давайте вычислим площади для обеих фигур.

1. Для первой фигуры ограниченной линиями y = 1/2x + 3, x = 0, x = 2 и y = 0, нам нужно найти точки пересечения этих линий. Сначала найдем точки пересечения y = 1/2x + 3 и y = 0:

0 = 1/2x + 3

1/2x = -3

x = -6

Таким образом, первая точка пересечения равна (-6, 0).

Теперь найдем точку пересечения x = 2 и y = 0, которая равна (2, 0).

Теперь у нас есть две точки: (-6, 0) и (2, 0). Площадь фигуры можно найти как интеграл от y = 1/2x + 3 от x = -6 до x = 2 и вычесть площадь под горизонтальной линией y = 0. Интеграл для этой фигуры будет:

S = ∫[from -6 to 2] (1/2x + 3) dx - ∫[from -6 to 2] 0 dx

S = [1/4x^2 + 3x] | [from -6 to 2] - [0] | [from -6 to 2]

S = [(1/4 * 2^2 + 3 * 2) - (1/4 * (-6)^2 + 3 * (-6))]

S = [(1/4 * 4 + 6) - (1/4 * 36 - 18)]

S = [1 + 6 - 9 - (-4.5)]

S = 20.5

Поэтому площадь фигуры равна 20.5 квадратным единицам.

2. Для второй фигуры ограниченной уравнениями y^2 = 2x и x^2 = 2y, мы также найдем точки их пересечения. Преобразуем оба уравнения:

y^2 = 2x -> y = ±√(2x)

x^2 = 2y -> y = x^2/2

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. y = √(2x)
2. y = x^2/2

Для нахождения точек пересечения этих кривых мы должны приравнять их:

√(2x) = x^2/2

2√(2x) = x^2

4x = x^4

x^4 - 4x = 0

x(x^3 - 4) = 0

x = 0 или x^3 - 4 = 0

Первое уравнение даёт x = 0, а второе уравнение дает x = 2.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 0: y = √(2 * 0) = 0

Для x = 2: y = √(2 * 2) = 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (2, 2).

Площадь фигуры можно вычислить, используя интегралы, но в данном случае можно заметить, что это фигура, ограниченная параболой y = x^2/2 и параболой y = √(2x) на интервале от 0 до 2. Площадь этой фигуры равна разности площадей под параболами:

S = ∫[from 0 to 2] (x^2/2 - √(2x)) dx

S = [(x^3/6 - (2/3) * x^(3/2))] | [from 0 to 2]

S = [(2^3/6 - (2/3) * 2^(3/2)) - (0 - 0)]

S = [(8/6 - (16/3 * √2))]

S = [4/3 - (16/3 * √2)]

Поэтому площадь второй фигуры равна (4/3 - 16/3 * √2) квадратным единицам.