Question

Почему в точке x0 = 0 функция f(x) = |x| не имеет производной? Объясните пожалуйста простым языком.

Answer 1

Доведення.

##################

Answer 2

Функция f(x) = |x| имеет особенность в точке x0 = 0, которая делает её производную неопределенной в этой точке. Производная функции измеряет, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента (x). В общем случае, производная |x| равна 1, если x больше 0, и -1, если x меньше 0.

Однако в точке x0 = 0 возникает проблема. Если мы попытаемся вычислить производную в этой точке, используя определение производной, мы столкнемся с трудностью. Для производной нам нужно вычислить предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда изменение аргумента стремится к нулю. В случае f(x) = |x|, когда x0 = 0, это выглядит следующим образом:

f'(0) = lim (h -> 0) [ |0 + h| - |0| ] / h

Если мы попытаемся вычислить этот предел, то увидим, что он не сходится к одному определенному значению. При приближении h к нулю справа (h > 0) результат будет равен 1, а слева (h < 0) результат будет равен -1. Это значит, что предел не существует, и производная в точке x0 = 0 не определена.

Поэтому можно сказать, что функция |x| не имеет производной в точке x0 = 0 из-за того, что её график имеет угол "излома" и не имеет однозначного наклона в этой точке.