Question

Доказать справедливость неравенства при любом n∈N: 1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!<5n-2/2n

Answer 1

Привет!

Будем доказывать неравенство методом математической индукции. Согласно методу математической индукции, некоторый факт имеет любом натуральном n, если выполняются следующие условия:
1) утверждение верно при n=1
2) из справедливости утверждения для n=k следует и его справедливость для n=k+1
Давайте проверим каждое условие.

1)База индукции. Для n=1 неравенство принимает вид:
1/1! < 5-2/2
1<3/2
1<1.5
Это является верным утверждением.

2) Предположение индукции. Пусть неравенство справедливо для n=k, т.е.

1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! < 5k-2/2k

Докажем, что из этого следует выполнение неравенства для n=k+1.

Шаг индукции. Добавим к левой части неравенства слагаемое 1/(k+1)!. Получаем:
1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! + 1/(k+1)! < 5k-2/2k + 1/(k+1)!

Можно заметить, что 1/(k+1)! < 1/k! для любого k (это действительно, так как k! = k·(k-1)! и k > k+1). Поэтому:

1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! + 1/(k+1)! < 5k-2/2k + 1/k!

Приведём правую часть к общему знаменателю:

5k-2/2k + 1/k! * (k+1)/(k+1) < 5(k+1)-2/2(k+1)

5k-2/2k + (k+1)/(k+1)! < 5(k+1)-2/2(k+1)

Перенесём левую часть вправо:

5(k+1)-2/2(k+1) - 5k-2/2k > (k+1)/(k+1)!

(5k+3)/(2k(k+1)) > 1/(k+1)

(5k+3)/2k > 1 - 1/(k+1)

Также стоит отметить, что

(5k+3)/2k > 1,5

1 - 1/(k+1) > 1 - 1/2 = 0,5

Поэтому последнее неравенство следует из уже доказанного:

(5k+3)/2k > 1,5 > 1 - 1/(k+1)

Таким образом, мы доказали, что если неравенство верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. По принципу математической индукции, оно верно для любого натурального n.

Ответ: неравенство 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! < 5n-2/2n верно для любого n∈N.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Давайте разберемся с базовым случаем и шагом индукции.

Базовый случай (n = 1): Подставим n = 1 в данное неравенство: 1/1! < 51 - 2 / 21

Это упрощается до: 1 < 3

Это верно, поскольку 1 меньше 3.

Шаг индукции: Предположим, что данное неравенство выполняется для некоторого n = k, то есть: 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! < 5k - 2 / 2k

Нам нужно доказать, что оно также выполняется для n = k + 1, то есть: 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k! + 1/(k+1)! < 5(k+1) - 2 / 2(k+1)

Добавим 1/(k+1)! к обеим сторонам неравенства:

(1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k!) + 1/(k+1)! < (5(k+1) - 2) / (2(k+1))

Теперь используем предположение индукции:

(5k - 2) / (2k) + 1/(k+1)! < (5(k+1) - 2) / (2(k+1))

Для дальнейшего доказательства, давайте упростим обе стороны неравенства:

(5k - 2) / (2k) + 1/(k+1)! < (5k + 5 - 2) / (2k + 2)

(5k - 2) / (2k) + 1/(k+1)! < (5k + 3) / (2k + 2)

Теперь давайте упростим левую сторону неравенства:

(5k - 2) / (2k) + 1/(k+1)! = (5k - 2) / (2k) + 1/(k+1) * (1/k!)

Общий знаменатель в левой части будет 2k(k+1), поэтому умножим первое слагаемое на (k+1) и второе слагаемое на 2:

[(5k - 2)(k+1) + 2/k!] / (2k(k+1)) < (5k + 3) / (2k + 2)

Теперь упростим числитель слева и знаменатель справа:

(5k^2 + 5k - 2k - 2 + 2/k!) / (2k(k+1)) < (5k + 3) / (2(k+1))

(5k^2 + 3k - 2 + 2/k!) / (2k(k+1)) < (5k + 3) / (2(k+1))

Давайте теперь рассмотрим числитель слева и знаменатель справа отдельно.

Числитель слева: 5k^2 + 3k - 2 + 2/k!

Знаменатель справа: 2(k+1)

Теперь обратим внимание на числитель слева. Для доказательства того, что левая сторона меньше правой, мы можем воспользоваться неравенством: k! ≥ 2^(k-1)

Это неравенство верно для всех натуральных k. Теперь мы можем оценить числитель слева:

5k^2 + 3k - 2 + 2/k! ≤ 5k^2 + 3k - 2 + 2/(2^(k-1))

Теперь у нас есть следующее неравенство:

5k^2 + 3k - 2 + 2/(2^(k-1)) < 2(k+1)

Следовательно, неравенство выполняется для n = k+1, и шаг индукции завершен.

Таким образом, мы показали, что если данное неравенство выполняется для некоторого натурального числа k, то оно также выполняется и для k+1. Исходя из базового случая (n = 1) и шага индукции, мы можем заключить, что данное неравенство справедливо для всех натуральных чисел n.