Question

Найти все значения n , при которых неравенства nx^2 +(n+2)x+2n+4<0 справедливо для всех x€R

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

.............

Answer 2

Чтобы найти все значения n, при которых неравенство $nx^2 + (n+2)x + 2n+4 < 0$ справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$, нужно определить, когда данное квадратное уравнение не имеет действительных корней или имеет только отрицательные корни.

Для начала, рассмотрим дискриминант уравнения $nx^2 + (n+2)x + 2n+4$, который определяется как $D = (n+2)^2 - 4n(2n+4)$. Для того чтобы уравнение не имело действительных корней (то есть не пересекалось с осью x), дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).

Раскроем выражение для дискриминанта и решим неравенство:

$$(n+2)^2 - 4n(2n+4) < 0$$

Упростим это выражение:

$$(n^2 + 4n + 4) - (8n^2 + 32n) < 0$$

$$-n^2 - 28n + 4 < 0$$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала умножим неравенство на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед $n^2$:

$$n^2 + 28n - 4 > 0$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $n^2 + 28n - 4 = 0$. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 1$, $b = 28$, и $c = -4$. Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(1)(-4) = 784 + 16 = 800$$

Теперь найдем корни:

$$n = \frac{-28 \pm \sqrt{800}}{2}$$

$$n = \frac{-28 \pm 20\sqrt{2}}{2}$$

$$n = -14 \pm 10\sqrt{2}$$

Итак, у нас два значения $n$, при которых неравенство $nx^2 + (n+2)x + 2n+4 < 0$ справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$:

1. $n = -14 + 10\sqrt{2}$
2. $n = -14 - 10\sqrt{2}$

Таким образом, если $n$ принадлежит интервалу $(- \infty, -14 - 10\sqrt{2})$ или $(-14 + 10\sqrt{2}, +\infty)$, то неравенство будет выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$.