Question

Розв’яжіть рівняння: а) 4 cos^2x + 4sinx – 1 = 0; б) сos7x + cosx = 0.в) √3 sin² 2x – 2 sin 4x + √3cos² 2x = 0​

Answer 1

Объяснение:

Решение на фото .......

Answer 2

Давайте розв'яжемо кожне з цих рівнянь по черзі:

а) 4 cos^2x + 4sinx – 1 = 0

Спростимо рівняння:

4 cos^2x + 4sinx – 1 = 0

4(1 - sin^2x) + 4sinx – 1 = 0

4 - 4sin^2x + 4sinx – 1 = 0

-4sin^2x + 4sinx + 3 = 0

Тепер зробимо заміну: sinx = t. Тоді рівняння стає квадратним за t:

-4t^2 + 4t + 3 = 0

Для розв'язання цього квадратного рівняння використаємо квадратне рівняння:

t = (-B ± √(B² - 4AC)) / 2A

де A = -4, B = 4 і C = 3. Підставимо значення:

t = (-4 ± √(4² - 4(-4)(3))) / (2(-4))

t = (-4 ± √(16 + 48)) / (-8)

t = (-4 ± √64) / (-8)

t = (-4 ± 8) / (-8)

Таким чином, ми маємо два значення для t:

1. t₁ = (8 - 4) / (-8) = 1/2
2. t₂ = (-8 - 4) / (-8) = -3/2

Тепер ми повертаємося до sinx:

1. sinx = 1/2
2. sinx = -3/2

Друге рівняння не має розв'язків, оскільки sinx завжди знаходиться в інтервалі від -1 до 1. Таким чином, ми маємо один розв'язок для першого рівняння:

1. sinx = 1/2

Тепер знайдемо значення x. Ми знаємо, що sin(30°) = 1/2, тому:

x = 30° + 360°n, де n - це ціле число.

б) cos7x + cosx = 0

Спростимо рівняння:

cos7x + cosx = 0

Для спрощення цього рівняння використаємо ідентичність:

cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)

Отже:

2cos(4x)cos(3x) = 0

Тепер розділімо на два окремі рівняння:

1. cos(4x) = 0
2. cos(3x) = 0

Розв'язуємо перше рівняння:

cos(4x) = 0

4x = 90° + 360°n, де n - це ціле число.

x = 22.5° + 90°n

Розв'язуємо друге рівняння:

cos(3x) = 0

3x = 90° + 360°n, де n - це ціле число.

x = 30° + 120°n

в) √3 sin² 2x – 2 sin 4x + √3cos² 2x = 0

Спростимо рівняння:

√3 sin² 2x – 2 sin 4x + √3cos² 2x = 0

Зауважте, що √3 sin² 2x + √3cos² 2x = 3 sin² 2x + 3cos² 2x = 3, оскільки sin²θ + cos²θ = 1.

Тоді рівняння стає:

3 sin² 2x - 2 sin 4x + 3 = 0

sin² 2x - 2 sin 4x + 1 = 0

(sin 2x - 1)² = 0

sin 2x - 1 = 0

sin 2x = 1

Тепер знайдемо значення 2x. Ми знаємо, що sin(90°) = 1, тому:

2x = 90° + 360°n, де n - це ціле число.

x = 45° + 180°n, де n - це ціле число.