Question

19. Если tgα = -2, TO найдите sin2α, cos2a, tg2a, ctg2a.​

Answer 1

Ответ:

$\sin 2\alpha =-\dfrac{4 }{5};\ \cos 2\alpha =-\dfrac{3 }{5};$

$\mathrm{tg}\, 2\alpha =\dfrac{4}{3};\ \mathrm{ctg}\, 2\alpha =\dfrac{3}{4}$

Решение:

Синус и косинус найдем, воспользовавшись универсальной тригонометрической подстановкой:

$\sin 2\alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{2\cdot(-2) }{1+(-2)^2}=\dfrac{-4 }{1+4}=\boxed{-\dfrac{4 }{5}}$

$\cos 2\alpha =\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{1-(-2)^2 }{1+(-2)^2 }=\dfrac{1-4 }{1+4}=\boxed{-\dfrac{3 }{5}}$

Тангенс найдем как отношение синуса к косинусу:

$\mathrm{tg}\, 2\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha }=-\dfrac{4}{5} :\left(-\dfrac{3}{5} \right)=\boxed{\dfrac{4}{3}}$

Котангенс найдем как величину, обратную тангенсу:

$\mathrm{ctg}\, 2\alpha =\dfrac{1 }{\mathrm{tg}\, 2\alpha }=1:\dfrac{4}{3}=\boxed{\dfrac{3}{4}}$

Элементы теории:

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}$

$\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}$

Answer 2

Дано, что tg(α) = -2. Мы можем использовать эту информацию, чтобы выразить sin(α) и cos(α), а затем использовать эти значения для вычисления других тригонометрических функций. Давайте начнем с вычисления sin(α) и cos(α).

Используем определение тангенса: tg(α) = sin(α) / cos(α)

Теперь мы знаем, что tg(α) = -2, поэтому: sin(α) / cos(α) = -2

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. sin(α) / cos(α) = -2
2. sin^2(α) + cos^2(α) = 1 (тождество Пифагора)

Из первого уравнения можно выразить sin(α) через cos(α): sin(α) = -2cos(α)

Теперь подставим это во второе уравнение: (-2cos(α))^2 + cos^2(α) = 1

Упростим: 4cos^2(α) + cos^2(α) = 1

5cos^2(α) = 1

cos^2(α) = 1/5

Теперь мы можем найти sin(α): sin^2(α) = 1 - cos^2(α) sin^2(α) = 1 - 1/5 sin^2(α) = 4/5

Теперь у нас есть значения sin(α) и cos(α). Мы можем использовать их для вычисления других тригонометрических функций.

cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α) cos(2α) = (1/5) - (4/5) cos(2α) = -3/5

sin(2α) = 2sin(α)cos(α) sin(2α) = 2 * (-2cos(α)) * cos(α) sin(2α) = -4cos^2(α)

tg(2α) = sin(2α) / cos(2α) tg(2α) = (-4cos^2(α)) / (-3/5) tg(2α) = (4cos^2(α)) / (3/5)

ctg(2α) = 1 / tg(2α) ctg(2α) = 1 / ((4cos^2(α)) / (3/5)) ctg(2α) = (3/5) / (4cos^2(α))

Теперь у нас есть значения для sin(2α), cos(2α), tg(2α) и ctg(2α), используя известные значения sin(α) и cos(α).