Question

83. Решите графически a) x + y = 3, [x² + y² = 9; 6) [y¯x=1, ly=-(x-1)} + 4; систему уравнений: в) г) [y=(x-1) + 2, xy = 2; - [x² + y² = 25, |xy=12.

Answer 1

Давайте решим системы уравнений поочередно:

а) x + y = 3 и x² + y² = 9

Для начала давайте решим первое уравнение x + y = 3 относительно y:

y = 3 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

x² + (3 - x)² = 9

Раскроем скобки и упростим:

x² + 9 - 6x + x² = 9

2x² - 6x = 0

Делаем общий множитель:

2x(x - 3) = 0

Теперь находим значения x:

1. x = 0
2. x - 3 = 0 x = 3

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x:

1. x = 0: y = 3 - 0 = 3

2. x = 3: y = 3 - 3 = 0

Итак, у нас есть две точки пересечения: (0, 3) и (3, 0).

б) y¯x = 1 и |y| = -(x - 1) + 4

Давайте начнем с первого уравнения:

y¯x = 1

Это уравнение означает, что у нас есть обратная зависимость между x и y. Теперь рассмотрим второе уравнение:

|y| = -(x - 1) + 4

Изобразим графики обоих уравнений, чтобы найти точки их пересечения:

График первого уравнения (y¯x = 1) будет выглядеть как hiperbola с фокусами в точках (1, -1) и (-1, 1).

График второго уравнения (|y| = -(x - 1) + 4) будет выглядеть как парабола, открытая вниз и с вершиной в точке (1, 4).

Точки пересечения этих графиков будут решениями системы. Судя по графикам, есть две точки пересечения: (0, 2) и (2, 0).

в) y = (x - 1) + 2 и xy = 2

Давайте начнем с первого уравнения:

y = (x - 1) + 2 y = x + 1

Теперь рассмотрим второе уравнение:

xy = 2

Из этого уравнения можно выразить y:

y = 2/x

Теперь у нас есть два выражения для y, и мы можем приравнять их:

x + 1 = 2/x

Умножим обе стороны на x:

x² + x = 2

Получим квадратное уравнение:

x² + x - 2 = 0

Решим его с помощью квадратного корня:

x = (-1 ± √(1 + 8))/2 x = (-1 ± √9)/2 x = (-1 ± 3)/2

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого значения x:

1. x = (-1 + 3)/2 = 1 y = x + 1 = 1 + 1 = 2

2. x = (-1 - 3)/2 = -2 y = x + 1 = -2 + 1 = -1

Итак, у нас есть две точки пересечения: (1, 2) и (-2, -1).

г) x² + y² = 25 и |xy| = 12

Давайте начнем с второго уравнения:

|xy| = 12

Это уравнение говорит нам, что произведение xy может быть как положительным, так и отрицательным, но его абсолютное значение равно 12. Теперь рассмотрим первое уравнение:

x² + y² = 25

Это уравнение представляет собой окружность с радиусом 5 и центром в начале координат.

Мы можем разделить второе уравнение на два случая:

1. xy = 12
2. xy = -12

Теперь давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. xy = 12

Для этого случая, мы можем рассмотреть различные комбинации целых чисел x и y, такие что их произведение равно 12. Например:

x = 1, y = 12 x = 2, y = 6 x = 3, y = 4

2. xy = -12

Для этого случая, мы также можем рассмотреть различные комбинации целых чисел x и y, такие что их произведение равно -12. Например:

x = -1, y = 12 x = -2, y = 6 x = -3, y = 4

Теперь у нас есть несколько точек, которые удовлетворяют уравнению xy = 12 и уравнению xy = -12. Мы можем проверить, лежат ли эти точки на окружности x² + y² = 25. Подставим их координаты и проверим:

Для точек (1, 12), (2, 6) и (3, 4):

1² + 12² = 1 + 144 = 145 (не удовлетворяет x² + y² = 25) 2² + 6² = 4 + 36 = 40 (не удовлетворяет x² + y² = 25) 3² + 4² = 9 + 16 = 25 (удовлетворяет x² + y² = 25)

Для точек (-1, 12), (-2, 6) и (-3, 4):

(-1)² + 12² = 1 + 144 = 145 (не удовлетворяет x² + y² = 25) (-2)² + 6² = 4 + 36 = 40 (не удовлетворяет x² + y² = 25) (-3)² + 4² = 9 + 16 = 25 (удовлетворяет x² + y² = 25)

Итак, единственная точка, которая удовлетворяет обоим уравнениям xy = -12 и x² + y² = 25, это точка (-3, 4).

Таким образом, система имеет единственное решение (-3, 4) для данного случая.

Итак, мы рассмотрели четыре системы уравнений и нашли их решения:

а) x + y = 3 и x² + y² = 9 имеют два решения: (0, 3) и (3, 0).

б) y¯x = 1 и |y| = -(x - 1) + 4 имеют два решения: (0, 2) и (2, 0).

в) y = (x - 1) + 2 и xy = 2 имеют два решения: (1, 2) и (-2, -1).

г) x² + y² = 25 и |xy| = 12 имеют одно решение: (-3, 4).