Question

Напишите уравнения касательной к графику функций y=f(x) в точке x (нулевое)     а) f(x)=1/2 x^2 , х(нулевое)= -2 б) f(x)=1-2x^2,  х(нулевое)=1 в) f(x)=x^2+2x,  х(нулевое)=-3

Answer 1

 1) f(-2) = 1/2*4 = 2

f ' = 1/2*2x = x

f ' (-2) = -2

y = 2 + (-2) (x-(-2)) = 2-2x-4 = -2-2x

2) 

f(1) = 1 - 2*1 = -1

f ' = -4x

f ' (1) = -4

y = -1 + (-4) (x-1) = 1-4x+4 = 5 - 4x

3) 

f(-3) = 9 - 6=3

f ' = 2x+2

f ' (-3) =-6+2 = -4

y = 3 + (-4) (x-(-3)) = 3-4x-12 = -9-4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, используется уравнение касательной:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0),$

где:

• $y$ и $x$ - переменные координаты точки на касательной;
• $y_0$ и $x_0$ - координаты заданной точки $x_0$ на графике функции $f(x)$;
• $f'(x_0)$ - производная функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Давайте найдем уравнения касательных для каждой из заданных функций и точек:

а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, $x_0 = -2$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = x$.
2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$: $f'(-2) = -2$.
3. Подставим значения в уравнение касательной: $y - f(-2) = -2(x - (-2))$.
4. Упростим уравнение: $y + 2 = -2(x + 2)$.
5. Получим окончательное уравнение касательной: $y = -2x - 6$.

б) $f(x) = 1 - 2x^2$, $x_0 = 1$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = -4x$.
2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = -4$.
3. Подставим значения в уравнение касательной: $y - f(1) = -4(x - 1)$.
4. Упростим уравнение: $y - (1 - 2\cdot1^2) = -4(x - 1)$.
5. Получим окончательное уравнение касательной: $y = -4x + 5$.

в) $f(x) = x^2 + 2x$, $x_0 = -3$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 2x + 2$.
2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -3$: $f'(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4$.
3. Подставим значения в уравнение касательной: $y - f(-3) = -4(x - (-3))$.
4. Упростим уравнение: $y - (-3^2 + 2(-3)) = -4(x + 3)$.
5. Получим окончательное уравнение касательной: $y = -4x - 3$.