Question

Найдите значение выражения a²/b+3a+3b+b²/a при а=5-√7 , b=5+√7

Answer 1

$\frac{a^2}{b}+3a+3b+\frac{b^2}{a}=\frac{a^3+3a^2b+3b^2a+b^3}{ba}=\frac{(a+b)^3}{ab}\\ \frac{(5-\sqrt{7}+5+\sqrt{7})^3}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})}=\frac{10^3}{25-7}=\frac{1000}{18}$

Answer 2

Для нахождения значения выражения a²/b + 3a + 3b + b²/a при a = 5 - √7 и b = 5 + √7, мы можем подставить эти значения вместо a и b и затем выполнить вычисления.

a = 5 - √7 b = 5 + √7

Теперь вычислим каждую из частей выражения:

a²/b = (5 - √7)² / (5 + √7) = (25 - 10√7 + 7) / (5 + √7) = (32 - 10√7) / (5 + √7)

b²/a = (5 + √7)² / (5 - √7) = (25 + 10√7 + 7) / (5 - √7) = (32 + 10√7) / (5 - √7)

Теперь вычислим 3a и 3b:

3a = 3(5 - √7) = 15 - 3√7 3b = 3(5 + √7) = 15 + 3√7

Теперь мы можем сложить все эти части:

a²/b + 3a + 3b + b²/a = [(32 - 10√7) / (5 + √7)] + (15 - 3√7) + (15 + 3√7) + [(32 + 10√7) / (5 - √7)]

Теперь давайте упростим это выражение. Обратите внимание, что -3√7 и 3√7 взаимно уничтожаются:

a²/b + 3a + 3b + b²/a = [(32 - 10√7) / (5 + √7)] + 15 + 15 + [(32 + 10√7) / (5 - √7)] = [(32 - 10√7) / (5 + √7)] + [(32 + 10√7) / (5 - √7)] + 30

Теперь давайте найдем общий знаменатель и сложим дроби:

Общий знаменатель: (5 + √7)(5 - √7) = 25 - 7 = 18

Теперь подставим общий знаменатель:

= [(32 - 10√7)(5 - √7) + (32 + 10√7)(5 + √7)] / 18 + 30

Теперь умножим скобки:

= [(160 - 42√7 - 10√7 + 70) + (160 + 42√7 + 10√7 + 70)] / 18 + 30

Теперь сложим числители:

= (320 + 140) / 18 + 30 = 460 / 18 + 30 = 25.56 + 30 = 55.56

Итак, значение выражения a²/b + 3a + 3b + b²/a при a = 5 - √7 и b = 5 + √7 равно 55.56.