Question

Докажите что 9 + 9 во второй +9 в третьей +.... +9в 2012 степени делится на 10

Answer 1

$9+9^2+9^3+9^4+9^5+9^6+...+9^{2011}+9^{2012}=\\\\1*(9+81)+9^2*(9+81)+9^4*(9+81)+...+9^{2010}*(9+81)=\\\\(1+9^2+9^4+...+9^{2010})*(9+81)\\\\(1+9^2+9^4+...+9^{2010})*90$

один из множителей 90 в разложении числа на множители делится нацело на 10, значит и данное число делится нацело на 10. Доказано

Answer 2

Давайте докажем это с помощью математической индукции. Мы хотим доказать, что сумма 9^2 + 9^3 + ... + 9^2012 делится на 10.

1. Базовый шаг: Для начала докажем, что утверждение верно для n = 2.

   9^2 = 81, и 81 делится на 10 без остатка (81 = 8 * 10 + 1).

   Таким образом, базовый шаг выполняется.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого k (k ≥ 2) сумма 9^2 + 9^3 + ... + 9^k делится на 10.

3. Шаг индукции: Докажем, что это верно для k + 1. Мы хотим доказать, что сумма 9^2 + 9^3 + ... + 9^k + 9^(k+1) также делится на 10.

   Исходя из предположения индукции, мы знаем, что 9^2 + 9^3 + ... + 9^k делится на 10. Теперь давайте добавим 9^(k+1):

   9^2 + 9^3 + ... + 9^k + 9^(k+1) = (9^2 + 9^3 + ... + 9^k) + 9^(k+1)

   По предположению индукции, первая часть делится на 10, а 9^(k+1) также делится на 10, так как любая степень 9 больше 2 делится на 10 (9^k = 9^2 * 9^(k-2), и 9^2 делится на 10).

   Следовательно, сумма 9^2 + 9^3 + ... + 9^k + 9^(k+1) делится на 10.

4. Заключение: Мы доказали, что если утверждение верно для n = 2 (базовый шаг) и если оно верно для некоторого k, то оно также верно для k + 1 (шаг индукции). Следовательно, утверждение верно для всех n от 2 до 2012.

Таким образом, сумма 9^2 + 9^3 + ... + 9^2012 действительно делится на 10.