Question

Сумма первых пяти членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , а последующих пяти членов равна  . Найдите сумму всех членов прогрессии

Answer 1

$b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}=\frac{31}{8}\\ b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}=\frac{31}{256}\\ \\ b_{1}(1+q+q^2+q^3+q^4)=\frac{31}{8}\\ b_{1}(q^5+q^6+q^7+q^8+q^9)=\frac{31}{256}$
теперь если поделить второе на первое то есть 
$\frac{q^5+q^6+q^7+q^8+q^9}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ \frac{q^5(1+q+q^2+q^3+q^4)}{1+q+q^2+q^3+q^4}=\frac{1}{32}\\ q^5=\frac{1}{32}\\ q=\frac{1}{2}$
то есть  $q=0.5\\ b_{1}=2\\ \\ S_{n}=\frac{2}{1-0.5} =4$

Ответ 4 

Answer 2

Для нахождения суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно знать первый член (a) и знаменатель (q) этой прогрессии.

Давайте обозначим первый член как a и знаменатель как q. Тогда сумма первых пяти членов этой прогрессии будет равна:

S5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4

Сумма последующих пяти членов будет равна:

S10 = aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + a*q^9

Нам известны значения S5 и S10:

S5 = 50 S10 = 5

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными a и q. Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и q.

Сначала мы можем разделить второе уравнение на первое:

(S10 / S5) = (aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + aq^9) / (a + aq + aq^2 + aq^3 + a*q^4)

Теперь мы подставим известные значения S5 и S10:

(5 / 50) = (aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + aq^9) / (a + aq + aq^2 + aq^3 + a*q^4)

1/10 = (aq^5 + aq^6 + aq^7 + aq^8 + a*q^9) / a(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)

Теперь давайте сделаем замену переменной:

S = a*q^5

Тогда мы можем переписать уравнение:

1/10 = S / (a * (1 + q + q^2 + q^3 + q^4))

Теперь у нас есть уравнение, в котором есть только одна неизвестная переменная S. Мы можем решить его относительно S:

S = (1/10) * a * (1 + q + q^2 + q^3 + q^4)

Теперь мы можем использовать это значение S для вычисления суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S∞ = a / (1 - q)

Мы знаем значение S и можем использовать его, чтобы найти a и q. После этого мы сможем найти сумму всех членов прогрессии.