Question

Lim(cos6x-1)/(x*sin2x) предел x->0 распишите решение пожалуйста

Answer 1

Через эквивалетность бесконечно малых
1-cos6x = 18x^2
sin 2x = 2x

далее: lim (x->0) 18x^2/2x^2 = 18/2 = 9

Ответ: 9

Answer 2

Давайте посчитаем предел выражения (cos(6x) - 1) / (x * sin(2x)), когда x стремится к 0.

Сначала заметим, что при x, стремящемся к 0, sin(2x) также стремится к 0. Поэтому мы можем воспользоваться правилом Лопиталя для вычисления предела:

lim(x -> 0) [(cos(6x) - 1) / (x * sin(2x))]

Применяем правило Лопиталя:

lim(x -> 0) [(d/dx cos(6x)) / (d/dx (x * sin(2x)))]

Вычислим производные:

d/dx cos(6x) = -6sin(6x) d/dx (x * sin(2x)) = sin(2x) + 2x * cos(2x)

Теперь подставим эти производные в предел:

lim(x -> 0) [(-6sin(6x)) / (sin(2x) + 2x * cos(2x))]

Теперь давайте вычислим предел, подставив x = 0:

(-6sin(0)) / (sin(0) + 2 * 0 * cos(0))

sin(0) = 0, cos(0) = 1, и sin(0) в знаменателе тоже равен 0. Поэтому у нас остается:

(-6 * 0) / (0 + 2 * 0 * 1) = 0 / 0

Это неопределенный предел, и мы можем снова воспользоваться правилом Лопиталя для решения этой неопределенности. Производная sin(2x) равна 2cos(2x), и производная 2x * cos(2x) равна 2cos(2x) - 4xsin(2x). Поэтому мы можем продолжить:

lim(x -> 0) [(d/dx (-6