Question

Найти производную функции  f(x)=cosx (1+sinx)

Answer 1

$y'=-sinx(1+sinx)+cosx\cdot cosx=\\\\=-sinx-sin^2x+cos^2x=-sinx+cos2x$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = \cos(x) (1 + \sin(x))$, воспользуемся правилом производной произведения:

$$(fg)' = f'g + fg'$$

где $f(x) = \cos(x)$ и $g(x) = 1 + \sin(x)$.

Найдем производные компонентов:

$f'(x) = -\sin(x)$ (по формуле производной косинуса)

$g'(x) = \cos(x)$ (по формуле производной синуса)

Теперь применим формулу для производной произведения:

$$f'(x) = f'g + fg' = -\sin(x)(1 + \sin(x)) + \cos(x)\cos(x)$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = -\sin(x) - \sin^2(x) + \cos^2(x)$$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$$f'(x) = -\sin(x) - 1 + 1 = -\sin(x)$$

Итак, производная функции $f(x) = \cos(x) (1 + \sin(x))$ равна $-\sin(x)$.