Question

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку M: y=3/(x^2) +1 , M(-0.5;-3)

Answer 1

Первообразная: у=-3/х+х+с
подставим координаты точки:
-3=-3/(-0,5)-0,5+с
с=-3-6+0,5=-8,5
ОТВЕТ у=-3/х+х-8,5

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$ такую, что её график проходит через точку $M(-0.5, -3)$, мы должны найти интеграл от этой функции и затем добавить произвольную константу $C$, чтобы учесть постоянную интеграции. Вот как это делается:

1. Найдем первообразную для функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$:

$$\int \frac{3}{x^2} + 1 \, dx = 3\int x^{-2} \, dx + \int 1 \, dx$$

Теперь найдем интегралы по отдельности:

$$3\int x^{-2} \, dx = 3 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) + C_1 = -\frac{3}{x} + C_1$$

$$\int 1 \, dx = x + C_2$$

2. Теперь сложим оба интеграла и добавим константу интеграции:

$$-\frac{3}{x} + x + C_1 + C_2$$

Объединим константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$:

$$-\frac{3}{x} + x + C$$

Это будет первообразной функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$. Теперь мы должны найти значение константы $C$, чтобы график этой функции проходил через точку $M(-0.5, -3)$:

$$-3 = -\frac{3}{-0.5} - 0.5 + C$$

Выразим $C$:

$$-3 = 6 - 0.5 + C$$

$$C = -3 - 6 + 0.5$$

$$C = -8.5$$

Таким образом, первообразная функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$, которая проходит через точку $M(-0.5, -3)$, имеет вид:

$$F(x) = -\frac{3}{x} + x - 8.5$$