Question

Логарифм по основанию x+1 числа 2 равно 3. решите пожалуйста

Answer 1

Log(x+1, 2)=3
2=(x+1)^3
(x+1)^3-2=9
(x+1)^3-(2^(1/3)^3)=0
откуда x=2^(1/3)-1

Answer 2

Для решения уравнения логарифма, вам нужно найти значение, которое находится внутри логарифма. В данном случае у нас есть логарифм по основанию $x+1$ числа $2$, равный $3$. То есть:

$$\log_{x+1}(2) = 3$$

Чтобы избавиться от логарифма, вы можете переписать уравнение в экспоненциальной форме. Возведем основание логарифма $(x+1)$ в степень $3$, чтобы получить число $2$:

$$(x+1)^3 = 2$$

Теперь нужно найти значение $x$, удовлетворяющее этому уравнению. Выразим $x$:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 2$$

$$x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0$$

Это уравнение является кубическим уравнением, и его решение может быть сложным. Однако, мы можем заметить, что $x=1$ является одним из его корней, так как $(1+1)^3 = 2$. Теперь мы можем разделить уравнение на $(x-1)$, чтобы найти остальные корни:

$$(x-1)(x^2 + 4x + 1) = 0$$

Первый множитель $(x-1)$ дает нам корень $x=1$. Для нахождения остальных корней, решим квадратное уравнение $(x^2 + 4x + 1) = 0$. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения оставшихся двух корней:

$$x^2 + 4x + 1 = 0$$

Используя квадратное уравнение, мы можем применить формулу для нахождения корней:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В данном случае $a = 1$, $b = 4$, и $c = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$$

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}$$

$$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$$

Теперь разделим числитель и знаменатель на $2$:

$$x = -2 \pm \sqrt{3}$$

Итак, у нас есть три корня уравнения: $x = 1$, $x = -2 + \sqrt{3}$ и $x = -2 - \sqrt{3}$. Эти значения $x$ удовлетворяют исходному уравнению $\log_{x+1}(2) = 3$.