Question

√3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите √3sin4x+cos4x=0 решите уравнение и найдите его корни,принадлежащие отрезку (-pi/2;pi/2) пожалуйста полное решение,спасибо.

Answer 1

√3*sin(4x) = - cos(4x) - разделим обе части на √3*cos(4x)
tg(4x) = -1/√3 = -√3/3
4x = -π/6 + πk, k∈Z
x = -π/24 + (πk/4), k∈Z
x∈[-π/2; π/2]
Найдем, при каких k корни уравнения будут принадлежать указанному в условии отрезку:
-π/2 ≤ -π/24 + (πk/4) ≤ π/2
-π/2 + π/24 ≤ πk/4 ≤ π/2 + π/24
-11π/24 ≤ πk/4 ≤ 13π/24
-11/6 ≤ k ≤ 13/6, k∈Z
k = -1, 0, 1, 2
Итого будет 4 корня.
k = -1, x1 = -π/24 - π/4 = (-π - 6π)/24 = -7π/24
k = 0, x2 = -π/24
k = 1, x3 = -π/24 + π/4 = (-π + 6π)/24 = 5π/24
k = 2, x4 = -π/24 + 2π/4 = (-π + 12π)/24 = 11π/4

Ответ: -7π/24, -π/24, 5π/24, 11π/24

Answer 2

Давайте решим уравнение √3sin(4x) + cos(4x) = 0. Для начала преобразуем его:

√3sin(4x) + cos(4x) = 0

Умножим обе стороны на 2:

2√3sin(4x) + 2cos(4x) = 0

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для суммы синуса и косинуса:

2sin(α)cos(β) = sin(α + β) + sin(α - β)

В данном случае α = 4x, β = π/6:

sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6) + 2cos(4x) = 0

Теперь выразим cos(4x) из данного уравнения:

cos(4x) = -[sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6)] / 2

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Первый случай: sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6) = 0

В этом случае имеем:

sin(4x + π/6) = -sin(4x - π/6)

Используем тригонометрическую формулу суммы синусов:

sin(α) = -sin(β) тогда и только тогда, когда α = π - β или α = β + π

Для нашего случая это значит:

4x + π/6 = π - (4x - π/6) или 4x + π/6 = 4x - π/6 + π

Решим первое уравнение:

4x + π/6 = π - 4x + π/6

8x = π

x = π/8

Решим второе уравнение:

4x + π/6 = 4x - π/6 + π

4x + π/6 = 4x + 5π/6

Поскольку эти уравнения не имеют решений, это уравнение не имеет корней в данном случае.

2. Второй случай: cos(4x) = -[sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6)] / 2

Давайте решим это уравнение:

cos(4x) = -[sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6)] / 2

Умножим обе стороны на -2:

-2cos(4x) = sin(4x + π/6) + sin(4x - π/6)

Используем тригонометрическую формулу для суммы синусов:

-2cos(4x) = 2sin(4x)cos(π/6)

Делаем замену sin(4x) = y:

-2cos(4x) = 2ycos(π/6)

Разделим обе стороны на 2cos(π/6):

-y = cos(π/6)

y = -cos(π/6)

Теперь вернемся к sin(4x):

sin(4x) = -cos(π/6)

sin(4x) = -√3/2

Теперь найдем значения x на интервале (-π/2; π/2), для которых sin(4x) = -√3/2. Это происходит при следующих углах:

4x = -π/3 + 2πn, где n - целое число

Делим обе стороны на 4:

x = -π/12 + πn/2, где n - целое число

Таким образом, корни уравнения на интервале (-π/2; π/2) следующие:

x = -π/12, x = π/4

Полное решение уравнения √3sin(4x) + cos(4x) = 0 на интервале (-π/2; π/2):

x = -π/12, x = π/4