Question

Помогите решить, решаю, вроде как и получается, но при деление когда я нашёл 1-й корень, делится с остатком... Вот пример который нужно решить:(х+1)(х+2)(х+3)(х+6)=168х^2

Answer 1

Раскрываю скобки:
$(x^2+3x+2)(x^2+9x+18)=168x^2 \\ x^4+12x^3+47x^2+72x+36=168x^2 \\ x^4+12x^3-121x^2+72x+36=0$
т.к. х=0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на x²
$x^2+12x-121+ \frac{72}{x}+ \frac{36}{x^2}=0 \\ (x^2+ \frac{36}{x^2})+(12x+ \frac{72}{x})-121=0 \\(x^2+ \frac{36}{x^2})+12(x+ \frac{6}{x})-121=0$
сделаем замену:
$x+ \frac{6}{x}=y$
 возведем обе части в квадрат: 
$(x+ \frac{6}{x})^2=y^2 \\ x^2+2*x* \frac{6}{x}+ \frac{36}{x^2}=y^2 \\x^2+12+ \frac{36}{x^2}=y^2 \\ x^2+ \frac{36}{x^2}=y^2-12$
подставляем замены:
$y^2-12+12y-121=0 \\ y^2+12y-133=0 \\ D=12^2-4*133=676=26^2 \\y_1= \frac{-12+ 26}{2}=7 \\ y_2= \frac{-12- 26}{2}=-19$
возвращаемся к замене:
$x+ \frac{6}{x}=7 \\ x+ \frac{6}{x}-7=0 \\\frac{x^2-7x+6}{x}=0 \\ x \neq 0 \\ x^2-7x+6=0$
по теореме Виета:
$x_1+x_2=7 \\ x_1*x_2=6 \\ x_1=1,x_2=6$
  $x+ \frac{6}{x}=-19 \\ x+ \frac{6}{x}+19=0 \\\frac{x^2+19x+6}{x}=0 \\ x \neq 0 \\ x^2+19x+6=0 \\ D=19^2-4*6=361-24=337 \\ x_3= \frac{-19+ \sqrt{337}}{2} \\ x_4= \frac{-19- \sqrt{337} }{2}$


  

Answer 2

Давайте решим это уравнение по шагам. Ваше уравнение выглядит так:

(х+1)(х+2)(х+3)(х+6) = 168х^2

1. Сначала раскроем левую сторону уравнения:

(х+1)(х+2)(х+3)(х+6) = 168х^2

Раскрываем скобки:

(x^2 + 7x + 6)(x^2 + 9x + 18) = 168х^2

2. Теперь умножим многочлены:

(x^2 + 7x + 6)(x^2 + 9x + 18) = 168х^2

x^4 + 9x^3 + 18x^2 + 7x^3 + 63x^2 + 126x + 6x^2 + 54x + 108 = 168х^2

3. Упростим уравнение:

x^4 + 16x^3 + 87x^2 + 180x + 108 = 168х^2

4. Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

x^4 + 16x^3 - 81x^2 + 180x + 108 - 168х^2 = 0

5. Упростим уравнение:

x^4 + 16x^3 - 249x^2 + 180x + 108 = 0

6. Теперь можно попробовать решить это уравнение численно или методом подбора корней. Учитывая сложность уравнения, лучше воспользоваться численным методом. Мы видим, что x = 0 - это корень уравнения, так как подставив x = 0, получаем 0 = 0.

7. Далее можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти остальные корни уравнения. Эти методы помогут найти корни с высокой точностью.