Question

У нас была новая тема, но мы не успели разобрать её и у нас завтра контрольная работа, я не могу решить одно задание, помогите пожалуйста, желательно с объяснением. Дана функция y=f(x), где f(x)= x-4. найдите все значения x при которых справедливо неравенство f(x^2) * f(x +5) >или= 0

Answer 1

Подставим вместо х то, что стоит под функцией:
$f(x^{2})=x^{2}-4$
$f(x+5)=(x+5)-4=x+5-4=x+1$
Запишем произведение этих функций:
$f(x^{2})*f(x+5)=(x^{2}-4)*(x+1)$
Запишем неравенство, которое нужно решить:
$(x^{2}-4)*(x+1) \geq 0$
Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью Ох):
$(x^{2}-4)*(x+1)=0$
1)  $x^{2}-4=0$
$x=2$
$x=-2$
2)  $x=-1$

Расставим точки на координатной прямой в порядке возрастания и определим знак функции на каждом интервале (см. рисунок)

Ответ: x∈[-2;-1]U[2;+бесконечность)

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала найдем значения x, при которых справедливо неравенство f(x^2) * f(x + 5) = 0, а затем найдем значения x, при которых это неравенство может быть больше или равно 0.

1. Начнем с нахождения значений x, при которых f(x^2) * f(x + 5) = 0:

   f(x^2) = (x^2) - 4 = x^2 - 4. f(x + 5) = (x + 5) - 4 = x + 1.

   Теперь у нас есть неравенство:

   (x^2 - 4) * (x + 1) = 0.

   Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Таким образом, получаем два случая:

   a) x^2 - 4 = 0 b) x + 1 = 0

   a) x^2 - 4 = 0: Решим уравнение x^2 - 4 = 0: x^2 = 4, x = ±2.

   b) x + 1 = 0: Решим уравнение x + 1 = 0: x = -1.

2. Теперь у нас есть значения x, при которых f(x^2) * f(x + 5) = 0: x = -1, x = 2, x = -2.

3. Чтобы найти значения x, при которых неравенство f(x^2) * f(x + 5) >= 0, нужно определить знак выражения f(x^2) * f(x + 5) в интервалах между найденными значениями x (то есть в интервалах (-бесконечность, -2), (-2, -1), (-1, 2), и (2, +бесконечность)). Мы уже знаем, что внутри каждого из этих интервалов у нас либо произведение положительное, либо равно нулю.

Таким образом, значения x, при которых неравенство f(x^2) * f(x + 5) >= 0, это:

-2 <= x <= -1 или 2 <= x.

Это и есть ответ на ваш вопрос.