Question

Упростите выражение (sin^2 31 + sin^2 59 + tg^2 3a)*4sin^2 3a/2 * cos^2 3a/2 и найдите его значение при a=п/18

Answer 1

$(\sin^2{39^\circ} + \sin^2{51^\circ} + \mathrm{tg}^2 \: 3\alpha) 4\sin^2{\frac{3\alpha}{2}}\cos^2{\frac{3\alpha}{2}} = (1 + \mathrm{tg}^2 \: 3\alpha)\cdot \sin^2{3\alpha} = \\ = \dfrac{1}{\cos^2{3\alpha}} \sin^2{3\alpha} = \mathrm{tg}^2 \: {3\alpha} = \mathrm{tg}^2 \: {(3\cdot \frac{\pi}{18}) = \dfrac{1}{3}.$

Answer 2

Давайте начнем с упрощения данного выражения:

(sin^2 31 + sin^2 59 + tg^2 3a) * 4sin^2(3a/2) * cos^2(3a/2)

1. Заметим, что sin^2 31 + sin^2 59 = 1, так как sin^2(31°) + sin^2(59°) = 1 (сумма квадратов синусов суммы углов равна 1).

Теперь у нас есть:

(1 + tg^2 3a) * 4sin^2(3a/2) * cos^2(3a/2)

2. Заметим, что tg^2 3a = sin^2 3a / cos^2 3a, используя определение тангенса в виде отношения синуса к косинусу. Теперь у нас есть:

(1 + sin^2 3a / cos^2 3a) * 4sin^2(3a/2) * cos^2(3a/2)

3. Подставим a = π/18:

(1 + sin^2(π/6) / cos^2(π/6)) * 4sin^2(π/12) * cos^2(π/12)

4. Заметим, что sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2. Также sin(π/12) = √(2 - √3)/4 и cos(π/12) = √(2 + √3)/4.

5. Теперь подставим значения:

(1 + (1/2)^2 / (√3/2)^2) * 4((√(2 - √3)/4)^2) * ((√(2 + √3)/4)^2)

6. Вычислим числитель и знаменатель в скобках:

Числитель: 1 + (1/4) / (3/4) = 1 + 1/3 = 4/3

Знаменатель: 4((2 - √3)/16) * ((2 + √3)/16) = (1/4) * (2 - √3) * (2 + √3) = (1/4) * (4 - 3) = 1

7. Теперь умножим числитель и знаменатель:

(4/3) / 1 = 4/3

Таким образом, значение выражения при a = π/18 равно 4/3.