Question

Найдите сумму четырех первых геометрических прогрессии (bn), если 1) b4=125, q=2,5. 2) b1=25 корень из 5, q<0 3) b4=10, b7=10000

Answer 1

Ответ:

Если последовательность (bₓ) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения x справедлива зависимость: bₓ₊₁=bₓ⋅q.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу: bₓ₊₁=b₁ ⋅ qˣ⁻¹.

Сумму первых x членов геометрической прогрессии Sₓ можно найти по 1-формуле

$\displaystyle \tt S_x=\frac{b_1 \cdot (q^x-1)}{q-1}$

или по 2-формуле

$\displaystyle \tt S_x=\frac{b_x \cdot q-b_1}{q-1}.$

Решение.

1) b₄ = 125, q = 2,5. Так как b₄ = b₁ ⋅ q⁴⁻¹ = b₁ ⋅ q³, то находим

b₁ = b₄/q³ = 125/2,5³ = 125/15,625 = 8.

Теперь применим 2-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_4 \cdot q-b_1}{q-1} = \frac{125 \cdot 2,5-8}{2,5-1} = \frac{312,5 -8}{1,5} = \frac{304,5}{1,5} = 203.$

2) b1=25·√5, q<0. Применим 1-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_1 \cdot (q^4-1)}{q-1}=\frac{25 \cdot \sqrt{5} \cdot (q-1) \cdot (q^3+q^2+q+1)}{q-1}= \\\\=25 \cdot \sqrt{5} \cdot (q^3+q^2+q+1).$

3) b₄ = 10, b₇ = 10000. Так как b₇ = b₆ ⋅ q = b₅ ⋅ q² = b₄ ⋅ q³, то

q³ = b₇/b₄ = 10000/10 = 1000 или q = 10. Теперь находим b₁ :

b₁ = b₄/q³ = 10/10³ = 10/1000 = 1/100.

Теперь применим 2-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_4 \cdot q-b_1}{q-1} = \frac{10 \cdot 10-\dfrac{1}{100} }{10-1} = \frac{10000 -1}{9 \cdot 100} = \frac{9999}{9 \cdot 100} =\frac{1111}{ 100} = 11,11.$

Answer 2

Для нахождения суммы четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n) с данными параметрами, мы можем использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

S_n = b_1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где:

• S_n - сумма первых n членов прогрессии,
• b_1 - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии,
• n - количество членов, сумму которых мы хотим найти.

1. Для первого случая, где b_4 = 125 и q = 2.5:

b_1 = b_4 / (q^3) = 125 / (2.5^3) = 125 / 15.625 = 8.

Теперь, используя формулу для суммы членов прогрессии, мы можем найти сумму четырех первых членов:

S_4 = 8 * (1 - 2.5^4) / (1 - 2.5) = 8 * (1 - 39.0625) / (-1.5) = 8 * (-38.0625 / -1.5) = 321.75.

2. Для второго случая, где b_1 = 25√5 и q < 0:

Так как q < 0, то b_1 * q должно быть положительным числом. Поэтому, q = -1/√5.

Теперь, используя формулу для суммы членов прогрессии:

S_4 = (25√5) * (1 - (-1/√5)^4) / (1 - (-1/√5)) = (25√5) * (1 - 1/5) / (1 + 1/√5) = (25√5) * (4/5) / (1 + 1/√5) = 20√5 / (1 + 1/√5).

Для удобства, давайте умножим числитель и знаменатель на √5:

S_4 = (20√5 * √5) / ((√5 + 1) * √5) = (100) / (√5 + 1).

3. Для третьего случая, где b_4 = 10 и b_7 = 10000:

Первый член прогрессии можно найти, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

b_1 = b_4 / (q^3) = 10 / (q^3),

где q - знаменатель прогрессии. Однако нам нужно найти q, чтобы вычислить b_1. Мы можем использовать информацию о b_7:

b_7 = b_1 * q^6.

Подставим выражение для b_1:

10000 = (10 / (q^3)) * q^6.

Упростим уравнение:

10000 = 10 * q^3.

Теперь найдем q:

q^3 = 1000, q = ∛1000, q = 10.

Теперь, найдем b_1:

b_1 = 10 / (q^3) = 10 / (10^3) = 10 / 1000 = 1/100.

Теперь, используя формулу для суммы членов прогрессии:

S_4 = (1/100) * (1 - 10^4) / (1 - 10) = (1/100) * (1 - 10000) / (-9) = (-9999/100) / (-9) = 1111.1 / 9 ≈ 123.45.

Итак, сумма четырех первых членов геометрической прогрессии в каждом из трех случаев равна:

1. 321.75.
2. 100 / (√5 + 1).
3. Примерно 123.45.