Question

Найти производные функций при данном значении аргумента f (x)=(t+1)корень t^2+1; f'(1)

Answer 1

$f(t)=(t+1) \sqrt{t^2+1};f'(t)=(t+1)'\sqrt{t^2+1}+(t+1)\sqrt{t^2+1}'=$
$=\sqrt{t^2+1}+(t+1) \frac{1}{2\sqrt{t^2+1}}\cdot 2t =\sqrt{t^2+1}+ \frac{t(t+1)}{\sqrt{t^2+1}}=$
$= \frac{t^2+1+t^2+t}{\sqrt{t^2+1}}= \frac{2t^2+t+1}{\sqrt{t^2+1}};$
$f'(1)= \frac{2+1+1}{\sqrt{1+1}}= \frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2};$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (t + 1)√(t^2 + 1) при t = 1, мы сначала найдем производную этой функции по переменной t и затем подставим t = 1.

1. Найдем производную функции f(t) по переменной t, используя правило производной произведения и цепного правила:

f(t) = (t + 1)√(t^2 + 1)

f'(t) = (t + 1) * [√(t^2 + 1)]' + √(t^2 + 1) * (t + 1)'

Теперь найдем производные каждого из слагаемых:

(a) (t + 1) * [√(t^2 + 1)]'

Для этой части используем цепное правило. Пусть u = t + 1 и v = √(t^2 + 1), тогда:

u' = 1 v' = (1/2) * (t^2 + 1)^(-1/2) * 2t = t / √(t^2 + 1)

Теперь применяем цепное правило:

(t + 1) * [√(t^2 + 1)]' = u * v' + u' * v = (t + 1) * (t / √(t^2 + 1)) + 1 * √(t^2 + 1) = (t^2 + t) / √(t^2 + 1) + √(t^2 + 1)

(b) √(t^2 + 1) * (t + 1)'

Для этой части просто находим производную (t + 1) по t:

(t + 1)' = 1

Теперь объединим обе части:

f'(t) = [(t^2 + t) / √(t^2 + 1) + √(t^2 + 1)] + 1

Теперь подставим t = 1, чтобы найти производную при t = 1:

f'(1) = [(1^2 + 1) / √(1^2 + 1) + √(1^2 + 1)] + 1 f'(1) = [2 / √(2) + √(2)] + 1

Теперь упростим выражение:

f'(1) = [2√2 + √2] + 1 f'(1) = 3√2 + 1

Таким образом, производная функции f(x) при t = 1 равна 3√2 + 1.