Question

Помогите пожалуйста,очень нужно решить систему уравнений { 2x-y-z=4 3x+4y-2z=11 3x-2y+4z=11 6. Для функции f найти первообразную, график которой проходит через точку М: f (x) = 3х2 – 2х + 2 М (1; 4) 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. у= 2 – х3, у = 1, х = -1, х = 1

Answer 1

решить систему уравнений
 { 2x-y-z=4
3x+4y-2z=11
3x-2y+4z=11
Иэ второго уравнения вычитаем третий получаем
6(y -z)=0  или    z =y  ;
заменяем (поставим вместо z  y )  z на y в первых  двух уравнениях  получаем систему линейных уравнения сдвумя переменними
{x-y=2
3x+2y=11
отсюда
2(x-y)+(3x+2y)=2+11
5x =15  ==>x=3 потом  y=1
ответ:  x=3 ; y=1 ; z=1

6. Для функции f (x) = 3х² - 2х + 2  найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; 4):
решение:
F(x) = интеграл(f (x) )= интеграл(3х² -  2х + 2 )=интеграл(3х² )+
+интеграл( - 2х  )+интеграл( 2 )=  х³ - х² + 2x +C
F(x) = х³ - х² + 2x +C    ,  т.к.   график этой  функции проходит через
точку  М (1; 4) , то
4 =  1³ -1² +2*1+C   , отсюда  C  =2
окончательно  :
F(x) = х³ - х² + 2x +2
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
у= 2 - х³  ;  у = 1 ;  х ₁= -1 ;  х₂  = 1
решение: интеграл(( 2 - х ³ )dx) - интеграл( (1dx ) =
=(2x  - 1/4*x^4 -x) = (x -1/4x^4)  | предел от  -1  до 1| =
= (1 -1/4*1^4 )- ((-1) -1/4(-1)^4 ) =2
ответ : 2

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди.

6. Для нахождения первообразной функции $f(x)$, которая проходит через точку $M(1, 4)$, нужно найти антипроизводную (первообразную) от функции $f(x) = 3x^2 - 2x + 2$. Для этого мы будем интегрировать $f(x)$ по $x$:

$$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 2) dx$$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$$F(x) = \int 3x^2 dx - \int 2x dx + \int 2 dx$$

$$F(x) = x^3 - x^2 + 2x + C$$

Теперь, чтобы найти константу $C$, используем информацию о точке $M(1, 4)$:

$$4 = F(1) = 1^3 - 1^2 + 2 \cdot 1 + C$$

$$4 = 1 - 1 + 2 + C$$

$$C = 2$$

Итак, первообразная функции $f(x)$, проходящая через точку $M(1, 4)$, имеет вид:

$$F(x) = x^3 - x^2 + 2x + 2$$

7. Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$ и $x = 1$, нужно найти определенный интеграл между соответствующими пределами интегрирования.

Площадь фигуры равна:

$$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (2 - x^3 - 1) dx$$

Упростим интеграл:

$$\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (1 - x^3) dx$$

Теперь вычислим этот интеграл:

$$\text{Площадь} = \left[\frac{x}{1} - \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}$$

$$\text{Площадь} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-1 + \frac{1}{4}\right)$$

$$\text{Площадь} = \frac{5}{2}$$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$ и $x = 1$, равна $\frac{5}{2}$ квадратных единиц.