Question

Найдите сумму всех натуральных решений неравенства (x^2+x+2)/5-x>или равно 1

Answer 1

(x²+x+2)/(5-x)≥1|*(5-x)≠0  -x≠-5|(-1) x≠5
(x²+x+2)≥5-x
x²+x+2-5+x≥0
x²+2x-3≥0
По теореме Вието
x1+x2=-p=-2
x1*x2=-3
x1=-3
x2=1
x∈(-∞;-3];[-3;1];[1;5) и (5;+∞) вроде бы так, если не ошиблась)))

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство и найдем все натуральные решения:

(x^2 + x + 2)/5 - x ≥ 1

Для начала перепишем его в более удобной форме:

(x^2 + x + 2)/5 - x - 1 ≥ 0

Теперь умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дробей:

x^2 + x + 2 - 5x - 5 ≥ 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

x^2 - 4x - 3 ≥ 0

Далее, решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 4x - 3 = 0:

x^2 - 4x - 3 = 0

Используем квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28

Таким образом, дискриминант D равен 28, что больше нуля, поэтому у нас есть два различных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (4 + √28) / 2 ≈ 3.366 x2 = (-b - √D) / (2a) = (4 - √28) / 2 ≈ 0.634

Теперь, чтобы найти интервалы, на которых неравенство выполняется, можно использовать тестовую точку между корнями и за пределами:

1. Проверим для x = 0: x^2 - 4x - 3 = 0^2 - 4*0 - 3 = -3, что меньше 0.

2. Проверим для x = 1: x^2 - 4x - 3 = 1^2 - 4*1 - 3 = -6, что меньше 0.

3. Проверим для x = 2: x^2 - 4x - 3 = 2^2 - 4*2 - 3 = -7, что меньше 0.

4. Проверим для x = 3: x^2 - 4x - 3 = 3^2 - 4*3 - 3 = 0, что равно 0.

5. Проверим для x = 4: x^2 - 4x - 3 = 4^2 - 4*4 - 3 = 1, что больше 0.

Из результатов тестирования видно, что неравенство выполняется на интервалах (0, 2] и [3, бесконечность). Теперь найдем сумму всех натуральных решений в этих интервалах:

1. Для интервала (0, 2]: Натуральные числа на этом интервале: {1, 2} Сумма: 1 + 2 = 3

2. Для интервала [3, бесконечность): Натуральные числа на этом интервале: {3, 4, 5, ...} Сумма: 3 + 4 + 5 + ... (бесконечная геометрическая прогрессия)

Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом a и множителем r равна a / (1 - r). В нашем случае a = 3 и r = 1, так как мы просто считаем все натуральные числа, начиная с 3.

Сумма для интервала [3, бесконечность) равна: 3 / (1 - 1) = 3 / 0 (бесконечность)

Итак, сумма всех натуральных решений неравенства равна 3 + бесконечность, что теоретически бесконечно. Однако практически мы ограничимся суммой натуральных чисел, начиная с 3, так как рассматриваем бесконечный интервал. Таким образом, сумма будет бесконечной, но приближенно равна "бесконечности".