Question

Разложить на множители: x^4+5x^2+9

Answer 1

Многочлен четвертой степени представим как произведение двух квадратных трехчленов с неизвестными коэффициентами a, b, c, d: (x^2+ax+b)*(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)*x^3+(b+d+ac)*x^2+(ad+bc)*x+bd. После раскрытия этот многочлен должен равняться данному, значит получаем четыре уравнения с четырьмя неизвестными: a+c=0; b+d+ac=5; ad+bc=0; bd=9. Получаем, что: а=-с, тогда в третьем уравнении: -с*(b-d)=0, значит b-d=0 или с=0. При с=0 получим систему на b и d не имеющую решения. При b=d в 4-м уравнении: b^2=9, тогда b=3 и d=3. Значит во 2-м уравнении: 3+3+ac=5, -c*c=5-6, c^2=1, c=1, следовательно а=-1. Получили разложение исходного многочлена на произведение скобок: (x^2-x+3)*(x^2+x+3)

Answer 2

Для разложения выражения $x^4 + 5x^2 + 9$ на множители, давайте воспользуемся заменой переменных. Обозначим $y = x^2$, тогда наше выражение примет вид:

$y^2 + 5y + 9$

Теперь давайте попробуем разложить это квадратное уравнение на множители. Мы видим, что оно не имеет действительных корней, так как дискриминант (значение под корнем в формуле дискриминанта) отрицательный:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = -11$

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас есть два комплексных корня. Разложение будет иметь следующий вид:

$y^2 + 5y + 9 = (y + 2.5 + 1.5i)(y + 2.5 - 1.5i)$

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной $x$. Вспомним, что $y = x^2$, поэтому:

$(x^2 + 2.5 + 1.5i)(x^2 + 2.5 - 1.5i)$

Вот разложение выражения $x^4 + 5x^2 + 9$ на множители с комплексными числами.