Question

Найти общее решение или общий интеграл данных дифференциальных уравнений первого порядка 1) y'+xy=xy^2 2) y^2-4xy+4x^2'=0 3)x (x-1)y'+2xy=1

Answer 1

$1) y'+xy=xy^2$
$y'=xy^2-xy$
$y'=x(y-1)*y$
$\frac{y'}{(y-1)*y}=x$
$\int{\frac{y'}{(y-1)*y}}\,dx=\int{x}\,dx$
$ln|-y+1|-ln|y|=\frac{x^2}{2}+C_1$
$y=\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}+C_1}+1}$
$y=\frac{1}{C_1e^{\frac{x^2}{2}}+1}$

$2)y^2-4xy+4x^2y'=0$
$4x^2y'-4xy=-y^2$
$-\frac{y'}{y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{4x^2}$
$v=\frac{1}{y},togda\hspace*{10}v'=-\frac{y'}{y^2}$
$v'+\frac{v}{x}=\frac{1}{4x^2}$
$\mu=e^{\int{\frac{1}{x}}\,dx}=x$
$xv'+v=\frac{1}{4x}$
$1=x':$
$xv'+x'v=\frac{1}{4x}$
$(xv)'=\frac{1}{4x}$
$\int{(xv)'}\,dx=\int{\frac{1}{4x}}\,dx$
$xv=\frac{ln|x|}{4}+C_1$
$v=\frac{\frac{ln|x|}{4}+C_1}{x}$
$y=\frac{1}{v}=\frac{4x}{ln|x|+4C_1}$
$y=\frac{4x}{ln|x|+C_1}$

$x(x-1)y'+2xy=1$
$y'+\frac{2y}{x-1}=\frac{1}{x(x-1)}$
$\mu=e^{\int{\frac{2}{x-1}}\,dx}=(x-1)^2$
$(x-1)^2y'+2(x-1)y=\frac{x-1}{x}$
$2(x-1)=((x-1)^2)':$
$(x-1)^2y'+((x-1)^2)y=\frac{x-1}{x}$
$((x-1)^2y)'=\frac{x-1}{x}$
$\int{((x-1)^2y)'}\,dx=\int{\frac{x-1}{x}}\,dx$
$(x-1)^2y=x-ln|x|+C_1$
$y=\frac{x-ln|x|+C_1}{(x-1)^2}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из данных дифференциальных уравнений первого порядка и найдем их общие решения.

1. Уравнение: y' + xy = xy^2

Сначала выразим y' отдельно:

y' = xy^2 - xy

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом разделения переменных:

dy / (y^2 - y) = x dx

Разделим обе стороны на (y^2 - y):

dy / (y^2 - y) = x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (y^2 - y)) dy = ∫x dx

Сначала интегрируем левую сторону. Для упрощения интеграла представим дробь в виде частных дробей:

1 / (y^2 - y) = 1 / (y(y - 1)) = (1/y - 1/(y - 1))

Теперь проинтегрируем левую сторону:

∫(1/y - 1/(y - 1)) dy = ∫x dx

ln|y| - ln|y - 1| = (x^2) / 2 + C1

Используя свойство логарифмов и комбинируя их, получим:

ln|y / (y - 1)| = (x^2) / 2 + C1

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y / (y - 1)| = e^((x^2) / 2 + C1)

Так как мы имеем абсолютное значение слева, мы можем ввести два случая:

1. y / (y - 1) = e^((x^2) / 2 + C1)
2. y / (1 - y) = e^((x^2) / 2 + C1)

Решая каждое из этих уравнений относительно y, мы получим общие решения для данного дифференциального уравнения.

2. Уравнение: y^2 - 4xy + 4x^2 = 0

Это уравнение выглядит как квадратное уравнение относительно y. Мы можем его решить, используя квадратное уравнение:

y^2 - 4xy + 4x^2 = (y - 2x)^2 = 0

Отсюда видно, что y - 2x = 0, или y = 2x.

Общее решение данного уравнения - это линейная функция y = 2x.

3. Уравнение: x(x - 1)y' + 2xy = 1

Сначала выразим y' отдельно:

y' = (1 - 2xy) / (x(x - 1))

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом разделения переменных:

dy / ((1 - 2xy) / (x(x - 1))) = dx

Перепишем уравнение в виде:

dy / ((1 - 2xy) / (x(x - 1))) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(x(x - 1)/(1 - 2xy)) dy = ∫dx

Левую сторону можно проинтегрировать численно или с помощью численных методов, так как это уравнение не имеет аналитического решения в виде элементарных функций. Таким образом, общее решение данного уравнения будет выражено не в виде элементарных функций, а в виде интеграла от данного уравнения.