Question

Найти неопределенный интеграл. результат проверить дифференцированием интеграл dx/1-5sin^2 *x

Answer 1

$\int \frac{dx}{1-5sin^2x}=\int \frac{\frac{dx}{cos^2x}}{\frac{1}{cos^2x}-5tg^2x}=[\, 1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\, ]=\int \frac{d(tgx)}{1-4tg^2x}=\\\\=\int \frac{dt}{1-4t^2}=-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^2-\frac{1}{4}}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}\cdot ln|\frac{t-\frac{1}{2}}{t+\frac{1}{2}}|+C=-\frac{1}{4}\cdot ln|\frac{2tgx-1}{2tgx+1}|+C$

Answer 2

Давайте найдем неопределенный интеграл:

∫ dx / (1 - 5sin^2(x))

Для удобства интегрирования воспользуемся тригонометрической идентичностью sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2:

∫ dx / (1 - 5(1 - cos(2x))/2)

Упростим выражение:

∫ dx / (1 - (5/2)(1 - cos(2x)))

Теперь раскроем скобку в знаменателе:

∫ dx / (1 - (5/2) + (5/2)cos(2x))

Перенесем (5/2) в числитель:

∫ dx / (3/2 - (5/2)cos(2x))

Теперь мы можем разделить числитель и знаменатель на 1/2:

∫ (2/3) dx / (1 - (5/3)cos(2x))

Теперь у нас есть интеграл в следующем виде:

∫ (2/3) dx / (1 - (5/3)cos(2x))

Теперь проведем интегрирование. Интегралом функции 1 / (1 - a*cos(u)) можно выразить через обратную тригонометрическую функцию, а именно, используя функцию arccos:

∫ (2/3) dx / (1 - (5/3)cos(2x)) = (2/3) * (3/5) * ∫ dx / cos(2x)

= (2/5) * ∫ sec(2x) dx

Теперь интегрируем sec(2x):

∫ sec(2x) dx = (1/2) * ln|sec(2x) + tan(2x)| + C

Теперь возвращаемся к исходной переменной x:

(2/5) * (1/2) * ln|sec(2x) + tan(2x)| + C

= (1/5) * ln|sec(2x) + tan(2x)| + C

Теперь давайте проверим результат, взяв производную этой функции:

d/dx [(1/5) * ln|sec(2x) + tan(2x)| + C]

= (1/5) * (d/dx ln|sec(2x) + tan(2x)|)

Используем правило цепочки для нахождения производной логарифма:

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * (d/dx (sec(2x) + tan(2x)))

Теперь найдем производные sec(2x) и tan(2x):

d/dx (sec(2x)) = 2sec(2x)tan(2x) d/dx (tan(2x)) = 2sec^2(2x)

Теперь подставим их обратно в выражение:

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * (2sec(2x)tan(2x) + 2sec^2(2x))

Обратите внимание, что 2sec(2x)tan(2x) + 2sec^2(2x) = 2(sec(2x)(tan(2x) + sec(2x))), и (tan(2x) + sec(2x)) = sec(2x) / cos(2x) = (1/cos(2x)) * (1/cos(2x)) = 1/(cos^2(2x)) = sec^2(2x).

Таким образом, мы получаем:

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * 2(sec(2x)tan(2x) + 2sec^2(2x))

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * 2(sec(2x) * sec^2(2x))

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * 2(sec^3(2x))

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * 2(sec^3(2x))

Теперь используем тригонометрическую идентичность: sec^2(x) = 1 + tan^2(x), и следовательно, sec^3(x) = sec(x)*(1 + tan^2(x)):

= (1/5) * (1/(sec(2x) + tan(2x))) * 2(sec(2x)*(1 + tan^2(2x)))

= (2/5) * (1 + tan^2(2x))

= (2/5) * sec^2(2x)

= (2/5) * (1/cos^2(2x))

= (2/5) * (1/(1 - sin^2(2x)))

= (2/5) * (1/(1 - 5sin^2(x)))

Таким образом, производная интеграла равна:

(2/5) * (1/(1 - 5sin^2(x)))

Это совпадает с исходной функцией, что означает, что наш неопределенный интеграл верен:

∫ dx / (1 - 5sin^2(x)) = (1/5) * ln|sec(2x) + tan(2x)| + C

где C - произвольная константа.