Question

На доске размером n×n двое по очереди закрашивают клетки так, чтобы не появлялось закрашенных уголков из трех клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. При каких n выигрывает второй игрок?

Answer 1

Ответ: при чётных ответах т.е. например: 14, 16

Answer 2

Для четных n выиграет второй игрок, если он будет ходить симметрично первому (относительно центра доски). 

Answer 3

Эта игра напоминает известную игру "Крестики-нолики" (или "Tic-Tac-Toe"), но в данном случае мы играем на доске размером n×n и стараемся избегать образования уголков из трех закрашенных клеток. Давайте рассмотрим, при каких значениях n второй игрок может гарантированно победить.

Игра будет иметь следующие результаты в зависимости от n:

1. При n=1: Второй игрок выигрывает. Поскольку на доске всего одна клетка, первый игрок сделает ход и закрасит ее, а затем второй игрок закрасит оставшуюся клетку и выиграет.

2. При n=2: Второй игрок выигрывает. Первый игрок начнет игру и закрасит одну из клеток. Затем второй игрок может закрасить противоположную клетку в том же ряду и гарантированно выиграет.

3. При n=3: Первый игрок выигрывает. Независимо от того, какой ход делает второй игрок на первом ходу (закрашивает одну из клеток), первый игрок может затем закрасить одну из клеток в том же ряду или столбце, а затем выиграть на следующем ходу, образовав уголок из трех закрашенных клеток.

4. При n > 3: Первый игрок также выигрывает. Он может начать игру, закрасив любую клетку. Затем, независимо от хода второго игрока, первый игрок всегда сможет закрасить клетку так, чтобы создать уголок из трех закрашенных клеток и выиграть.

Таким образом, второй игрок может выиграть только при n=1 или n=2. При n=3 и более больших значениях n выигрывает первый игрок.